Questão-09. Um fabricante de móveis produz mesas, prateleiras e armários. Na fase do acabamento, cada mesa leva 5 minutos para ser lixada, 10 minutos para ser tingida e 10 minutos para ser envernizada. Cada prateleira leva 10 minutos para ser lixada, 5 minutos para ser tingida e 10 minutos para ser envernizada. Cada armário leva 15 minutos para ser lixado, 30 minutos para ser tingido e 30 minutos para ser envernizado. Diariamente são disponibilizadas duas horas para a bancada de lixamento, duas horas e meia para a bancada de tingimento e três horas para a bancada de envernizamento. Na produção de cada mesa, prateleira e armário, são necessários 2 m^{2}, 3 m^{2} e 5 \mathrm{~m}^{2} da madeira, respectivamente. Além disso, o lucro unitário de cada mesa, prateleira e armário é respectivamente 200, 300 e 600 reais.
a) Registre os dados numa tabela, e descreva o problema como um sistema de equações lineares.
b) Resolva o sistema para determinar todas as possíveis soluções viáveis do sistema associado, ou seja, calcule quantos móveis de cada tipo podem ser fabricados diariamente utilizando plenamente a disponibilidade de tempo para cada etapa do acabamento?
c) Considerando a exigência da produção dos três produtos, o lucro unitário e o consumo da matéria prima, indique a melhor produção diária de cada tipo de móvel.

Passo 1

Primeiro vamos entender claramente o que o problema pede e quais dados ele fornece.
  • O enunciado pede:
    a) organizar os dados numa tabela e escrever o modelo como um sistema de equações lineares;
    b) resolver o sistema e encontrar todas as soluções viáveis (quantos móveis de cada tipo usam plenamente o tempo de cada bancada);
    c) impondo que se deve produzir os três tipos de móvel, usar o lucro unitário e o consumo de madeira para indicar a melhor produção diária.
  • Dados relevantes (peguei todos esses números do enunciado):
    • Tempos por peça (em minutos):
      • Mesa: lixar 5, tingir 10, envernizar 10.
      • Prateleira: lixar 10, tingir 5, envernizar 10.
      • Armário: lixar 15, tingir 30, envernizar 30.
    • Disponibilidade diária de bancada (em minutos):
      • Lixamento: 2 horas =120 minutos.
      • Tingimento: 2{,}5 horas =150 minutos.
      • Envernizamento: 3 horas =180 minutos.
    • Consumo de madeira por peça (em \mathrm{m}^2):
      • Mesa: 2
      • Prateleira: 3
      • Armário: 5
    • Lucro unitário (em reais):
      • Mesa: 200
      • Prateleira: 300
      • Armário: 600
  • Variáveis que vou usar (definição clara):
    • x = número de mesas produzidas por dia,
    • y = número de prateleiras produzidas por dia,
    • z = número de armários produzidos por dia.
A resolução começa agora no próximo passo.

Passo 2

a) Montar a tabela dos dados principais (tempo por peça × tipo de bancada, consumo de madeira e lucro):
  • Tempo por peça (minutos):
    • Mesa: \,5 (lixar), \,10 (tingir), \,10 (envernizar).
    • Prateleira: \,10 (lixar), \,5 (tingir), \,10 (envernizar).
    • Armário: \,15 (lixar), \,30 (tingir), \,30 (envernizar).
  • Disponibilidade diária (minutos): lixar 120, tingir 150, envernizar 180.
  • Madeira por peça: mesa 2, prateleira 3, armário 5 ( \mathrm{m}^2).
  • Lucro unitário: mesa 200, prateleira 300, armário 600 (R$).
Agora escrevemos o problema como um sistema linear: usar totalmente cada bancada dá três equações (somar os tempos usados por todas as peças e igualar à disponibilidade).
As equações (uma para cada bancada) são:
5x + 10y + 15z = 120
10x + 5y + 30z = 150
10x + 10y + 30z = 180
Essas três equações formam o sistema pedido na letra (a).

Passo 3

Vamos resolver o sistema por eliminação, passo a passo, com cuidado para não pular etapas.
Escrevo de novo o sistema:
\begin{cases} 5x + 10y + 15z = 120,\\[4pt] 10x + 5y + 30z = 150,\\[4pt] 10x + 10y + 30z = 180. \end{cases}
Primeira operação útil: subtrair a segunda equação da terceira para eliminar x e z:
(10x+10y+30z) - (10x+5y+30z) = 180 - 150.
No lado esquerdo os 10x e 30z cancelam em pares, sobrando:
5y = 30 \quad\Rightarrow\quad y = 6.
Ótimo — já temos y=6.]

Passo 4

Com y=6, substituo em uma das equações para achar relação entre x e z. Uso a primeira equação:
5x + 10(6) + 15z = 120.
Calculo 10\cdot6 = 60, então
5x + 60 + 15z = 120 \quad\Rightarrow\quad 5x + 15z = 60.
Dividindo tudo por 5:
x + 3z = 12 \quad\Rightarrow\quad x = 12 - 3z.
Verifico rapidamente que a segunda equação dá a mesma relação (substituindo y=6 a segunda vira 10x +30 +30z =150 \Rightarrow x+3z=12), então o sistema é consistente e temos uma família de soluções parametrizada por z.
Conclusão intercalar: a solução geral do sistema é
x = 12 - 3z,\qquad y = 6,\qquad z \text{ livre}.

Passo 5

Agora impomos a condição de viabilidade: número de peças não-negativo e, por ser produção, normalmente inteiro. Assim exigimos
x \ge 0,\quad y \ge 0,\quad z \ge 0.
Como y=6 já positivo, só precisamos de x=12-3z \ge 0, ou seja 12-3z\ge 0\Rightarrow z\le 4.
Se permitirmos somente números inteiros (mais realista para peças), z pode ser 0,1,2,3,4. Para esses valores obtemos os pares correspondentes:
  • z=0 \Rightarrow x=12,\\ y=6.
  • z=1 \Rightarrow x=9,\\ y=6.
  • z=2 \Rightarrow x=6,\\ y=6.
  • z=3 \Rightarrow x=3,\\ y=6.
  • z=4 \Rightarrow x=0,\\ y=6.
Portanto todas as soluções inteiras viáveis que usam plenamente as três bancadas são:
(x,y,z) \in \{(12,6,0),\\ (9,6,1),\\ (6,6,2),\\ (3,6,3),\\ (0,6,4)\}.
(se aceitarmos soluções reais, temos a família contínua x=12-3z,\\ y=6,\\\ 0\le z\le4).

Passo 6

b) (resumo do que pediram em (b)): as soluções viáveis que utilizam plenamente o tempo diário nas três bancadas são as que listei acima. Nesse ponto é bom checar que cada uma delas realmente satisfaz as três equações — pode-se verificar substituindo qualquer tripla naquelas equações.

Passo 7

c) Agora, pensando em qual produção escolher: o enunciado pede que, considerando a exigência de produzir os três produtos (ou seja, cada tipo deve aparecer), o lucro unitário e o consumo de matéria-prima, indiquemos a melhor produção diária.
Primeiro calculemos o lucro total P como função de x,y,z:
P = 200x + 300y + 600z.
Como já sabemos que nas soluções viáveis y=6 e x=12-3z, substituo:
P = 200(12-3z) + 300\cdot 6 + 600z.
Calculo passo a passo:
200(12-3z)=2400 -600z,\qquad 300\cdot6=1800,
logo
P = (2400-600z) + 1800 + 600z = 2400+1800 +(-600z+600z) = 4200.
Surpresa prática e útil: o lucro total dá P=4200 reais para todas as soluções viáveis — ou seja, qualquer combinação que use plenamente as três bancadas gera o mesmo lucro total diário.
Como o lucro é igual para todas as combinações, o critério para escolher a “melhor” entre elas passa a ser outro — aqui entra a madeira. Calculemos o consumo de madeira M:
M = 2x + 3y + 5z.
Substituindo x=12-3z,\\ y=6:
M = 2(12-3z) + 3\cdot6 + 5z = 24 -6z +18 +5z = 42 - z.
Portanto, quanto maior z (mais armários), menor será o consumo total de madeira na família de soluções (porque um armário usa mais tempo relativo e permite reduzir mesas que consomem madeira de forma diferente). Mas há a condição adicional do enunciado: “exigência da produção dos três produtos” — isso exige produzir ao menos uma unidade de cada tipo, logo x>0,\\ y>0,\\ z>0. Entre as soluções inteiras viáveis, isso elimina as duas extremas com x=0 ou z=0. Assim permitimos apenas as opções com z=1,2,3 (pois para z=4 temos x=0, proibido por exigir produção de mesas).
Compare os consumos de madeira para z=1,2,3:
  • z=1\Rightarrow (x,y,z)=(9,6,1) tem M=42-1=41\,\mathrm{m}^2.
  • z=2\Rightarrow (x,y,z)=(6,6,2) tem M=42-2=40\,\mathrm{m}^2.
  • z=3\Rightarrow (x,y,z)=(3,6,3) tem M=42-3=39\,\mathrm{m}^2.
Todos têm o mesmo lucro P=4200 reais, portanto, se o objetivo é maximizar lucro e também economizar matéria-prima, a melhor escolha (mantendo produção de todos os três tipos) é a que minimiza o consumo de madeira: escolher z máximo possível mantendo x>0, ou seja z=3.
Logo a melhor produção diária, respeitando a exigência de produzir os três produtos e minimizando madeira com lucro máximo, é:
(x,y,z) = (3,6,3).
Isso gera lucro total P=4200 R$ e consome 39\,\mathrm{m}^2 de madeira.

Resposta

a) Variáveis: x = mesas, y = prateleiras, z = armários. Sistema:
5x+10y+15z=120,\;10x+5y+30z=150,\;10x+10y+30z=180.
b) Solução geral: x=12-3z,\;y=6,\;0\le z\le4. Soluções inteiras viáveis:
(x,y,z)=(12,6,0),\\ (9,6,1),\\ (6,6,2),\\ (3,6,3),\\ (0,6,4).
c) Produção ótima exigindo todos os três produtos: (x,y,z)=(3,6,3) (lucro 4200 R$, consumo de madeira 39\,\mathrm{m}^2).

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