Questão-10.
a) Considere o sistema linear homogêneo \left\{\begin{array}{l}2 x+4 y+z=0 \\\ x+y+2 z=0 \\\\ -x+3 y+\alpha z=0\end{array}\right. onde \alpha \in R.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com parâmetro \alpha\):
\[\begin{cases} 2x+4y+z=0,\\[4pt] x+y+2z=0,\\[4pt] -x+3y+\alpha z=0, \end{cases}
onde (\alpha\in\mathbb{R}].
As perguntas que vou responder (isto é o que normalmente se pede nesse tipo de exercício):
Para quais valores de \alpha o sistema admite solução não trivial?
Encontrar a solução geral do sistema nos casos em que houver soluções não triviais (e descrever o espaço de soluções).]
Passo 2
Conceito e estratégia (aulas rápidas):
Um sistema homogêneo pode sempre ser escrito como A\mathbf{v}=\mathbf{0}, onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{v}=(x,y,z)^T.
Se A é quadrada (aqui 3\times3) e \det(A)\neq0, então A é invertível e a única solução é a trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}.
Se \det(A)=0, então A é singular e o sistema homogêneo tem infinitas soluções não triviais; aí devemos reduzir a matriz por eliminação para encontrar a solução geral (usar variáveis livres, etc.).
Vou aplicar isso: calcular \det(A) em função de \alpha e usar o resultado para decidir.
Passo 3
Escrever a matriz dos coeficientes e calcular o determinante:
\det(A)=-2(\alpha+8). Assim \det(A)=0 se, e somente se, \alpha=-8.
Conclusão imediata: para \alpha\neq-8 tem-se \det(A)\neq0, logo a matriz é invertível e o sistema homogêneo só admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).
Para \alpha=-8 a matriz é singular e teremos soluções não triviais; é esse caso que vamos resolver agora.
Passo 5
Resolver o sistema quando \alpha=-8\). Substituindo:
\[\begin{cases} 2x+4y+z=0,\\[4pt] x+y+2z=0,\\[4pt] -x+3y-8z=0. \end{cases}
Faço eliminação de Gauss (mostro operações passo a passo). Matriz aumentada (coluna de zeros omitida porque é homogêneo):
Troco a primeira e a segunda linha para ter pivô 1\] na primeira linha:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 1\\[4pt] -1 & 3 & -8 \end{pmatrix}.\]
Elimino abaixo do pivô da primeira coluna:
- \(R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: (2,4,1) -2(1,1,2) = (0,2,-3).
- R_3 \leftarrow R_3 + R_1: (-1,3,-8)+(1,1,2)=(0,4,-6).