Questão-10.
a) Considere o sistema linear homogêneo \left\{\begin{array}{l}2 x+4 y+z=0 \\\ x+y+2 z=0 \\\\ -x+3 y+\alpha z=0\end{array}\right. onde \alpha \in R.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com parâmetro \alpha\): \[\begin{cases} 2x+4y+z=0,\\[4pt] x+y+2z=0,\\[4pt] -x+3y+\alpha z=0, \end{cases}
onde (\alpha\in\mathbb{R}].
As perguntas que vou responder (isto é o que normalmente se pede nesse tipo de exercício):
  • Para quais valores de \alpha o sistema admite solução não trivial?
  • Encontrar a solução geral do sistema nos casos em que houver soluções não triviais (e descrever o espaço de soluções).]

Passo 2

Conceito e estratégia (aulas rápidas):
  • Um sistema homogêneo pode sempre ser escrito como A\mathbf{v}=\mathbf{0}, onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{v}=(x,y,z)^T.
  • Se A é quadrada (aqui 3\times3) e \det(A)\neq0, então A é invertível e a única solução é a trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}.
  • Se \det(A)=0, então A é singular e o sistema homogêneo tem infinitas soluções não triviais; aí devemos reduzir a matriz por eliminação para encontrar a solução geral (usar variáveis livres, etc.).
    Vou aplicar isso: calcular \det(A) em função de \alpha e usar o resultado para decidir.

Passo 3

Escrever a matriz dos coeficientes e calcular o determinante:
A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 3 & \alpha \end{pmatrix}.
Calculo \det(A) por desenvolvimento (expansão na primeira linha, por exemplo):
\det(A)=2\begin{vmatrix}1 & 2 \\[2pt] 3 & \alpha\end{vmatrix} -4\begin{vmatrix}1 & 2 \\[2pt] -1 & \alpha\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}1 & 1 \\[2pt] -1 & 3\end{vmatrix}.
Agora os menores:
\begin{vmatrix}1 & 2 \\[2pt] 3 & \alpha\end{vmatrix}=1\cdot\alpha-2\cdot3=\alpha-6,
\begin{vmatrix}1 & 2 \\[2pt] -1 & \alpha\end{vmatrix}=1\cdot\alpha-2\cdot(-1)=\alpha+2,
\begin{vmatrix}1 & 1 \\[2pt] -1 & 3\end{vmatrix}=1\cdot3-1\cdot(-1)=3+1=4.
Substituindo:
\det(A)=2(\alpha-6)-4(\alpha+2)+1\cdot4.
Fazendo as contas:
\det(A)=2\alpha-12-4\alpha-8+4=-2\alpha-16=-2(\alpha+8).]

Passo 4

Interpretação do determinante:
  • \det(A)=-2(\alpha+8). Assim \det(A)=0 se, e somente se, \alpha=-8.
  • Conclusão imediata: para \alpha\neq-8 tem-se \det(A)\neq0, logo a matriz é invertível e o sistema homogêneo só admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).
  • Para \alpha=-8 a matriz é singular e teremos soluções não triviais; é esse caso que vamos resolver agora.

Passo 5

Resolver o sistema quando \alpha=-8\). Substituindo: \[\begin{cases} 2x+4y+z=0,\\[4pt] x+y+2z=0,\\[4pt] -x+3y-8z=0. \end{cases}
Faço eliminação de Gauss (mostro operações passo a passo). Matriz aumentada (coluna de zeros omitida porque é homogêneo):
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 3 & -8 \end{pmatrix}.
Troco a primeira e a segunda linha para ter pivô 1\] na primeira linha: \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 1\\[4pt] -1 & 3 & -8 \end{pmatrix}.\] Elimino abaixo do pivô da primeira coluna: - \(R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: (2,4,1) -2(1,1,2) = (0,2,-3).
- R_3 \leftarrow R_3 + R_1: (-1,3,-8)+(1,1,2)=(0,4,-6).
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 4 & -6 \end{pmatrix}.
Agora elimino R_3 usando R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2: (0,4,-6)-2(0,2,-3)=(0,0,0).
Ficamos com a forma escalonada:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Ler as equações finais da matriz escalonada:
  • Da segunda linha: 2y-3z=0, logo
2y=3z \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{3}{2}z.
  • Da primeira linha: x+y+2z=0, substituindo y:
x+\dfrac{3}{2}z+2z=0 \quad\Rightarrow\quad x+\dfrac{7}{2}z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7}{2}z.
Há uma variável livre: escolho z=t\in\mathbb{R}. Então
x=-\dfrac{7}{2}t,\qquad y=\dfrac{3}{2}t,\qquad z=t.
Podemos retirar frações usando outro parâmetro: tomando s=2t obtemos
(x,y,z)=s\cdot(-7,3,2),\qquad s\in\mathbb{R}.
Portanto o espaço de soluções (quando \alpha=-8) é uma reta através da origem gerada pelo vetor (-7,3,2). A dimensão do espaço de soluções é 1.

Resposta

Para \alpha\neq-8: (x,y,z)=(0,0,0).
Para \alpha=-8: (x,y,z)=t(-7,3,2),\\ t\in\mathbb{R}.

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