Questão-13. Considere o espaço vetorial real
com as operações:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
para
a) Calcule a e b para que a equação
seja satisfeita em V
b) Exiba o elemento neutro da adição do espaço vetorial
c) Exiba o elemento simétrico de vetor
d) Verifique se o conjunto
é um subespaço vetorial de
a) Calcule a e b para que a equação
b) Exiba o elemento neutro da adição do espaço vetorial
c) Exiba o elemento simétrico de vetor
d) Verifique se o conjunto
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial real
com operações não usuais:
- Adição:
. - Multiplicação por escalar:
para .
O enunciado pede:
(a) Calcular e
de modo que
.
(b) Exibir o elemento neutro da adição em .
(c) Exibir o elemento simétrico (inverso aditivo) de .
(d) Verificar se é um subespaço vetorial de
.
(a) Calcular
(b) Exibir o elemento neutro da adição em
(c) Exibir o elemento simétrico (inverso aditivo) de
(d) Verificar se
Passo 2
Vamos primeiro entender e aplicar a definição de multiplicação por escalar dada. Para um escalar genérico
e um vetor
vale:
No item (a) o escalar é
e o vetor é
. Substituindo:
Passo 3
Agora simplifico cada componente passo a passo.
Componente
:
Distribuindo:
Componente
:
Queremos que esse resultado seja
. Igualando componente a componente:
Resolvo a primeira equação:
Substituo em
:
Passo 4
Item (b): encontrar o elemento neutro
da adição
. Por definição,
satisfaz, para todo
,
ou equivalentemente
Igualando componentes obtemos duas equações:
Logo
e
. Assim o elemento neutro da adição é
.
Breve comentário didático: o elemento neutro é o vetor que, adicionado a qualquer outro vetor segundo a operação dada, não altera esse vetor. Aqui a “+5” na definição da adição desloca a coordenada
do neutro para
.
Passo 5
Item (c): encontrar o simétrico (inverso aditivo) de
, isto é, um vetor
tal que
onde
é o neutro encontrado
. Escrevo a equação:
Igualando componentes:
Portanto o simétrico (inverso aditivo) de
é
Explicação curta: por causa do termo constante
na adição, o inverso na coordenada
não é simplesmente
; há um deslocamento adicional que gera
.
Passo 6
Item (d): verificar se
é subespaço de
.
Critério que vou usar (didático): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se (i) contém o elemento neutro de
, (ii) é fechado sob a adição
, e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar
. Vou checar cada item.
(i) Contém o neutro? O neutro de
é
(do Passo 4). Esse vetor tem primeira coordenada
, logo
. OK.
(ii) Fechamento em relação à adição: pego dois vetores quaisquer de
,
Calculo
usando a definição:
A primeira coordenada ficou
, logo
. Então
é fechado sob
.
(iii) Fechamento sob escalar: pego
e
. Calculo
com a definição:
Simplifico a primeira coordenada:
Portanto
, cuja primeira coordenada é
. Assim
. Logo
é fechado sob
.
Como (i), (ii) e (iii) são satisfeitos,
é um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Resumo final (para checagem rápida): (a) resolvemos equações coordenada a coordenada; (b) calculamos o neutro pela condição de identidade aditiva; (c) resolvemos para o inverso pedindo soma igual ao neutro; (d) usamos os testes de conter o neutro e fechar em adição e multiplicação escalar. Tudo consistente com as operações dadas.
Resposta
Elemento neutro da adição:
Simétrico de
: