Questão-13. Considere o espaço vetorial real V=\{(x, y) ; x, y \in R\} com as operações:
  • Adição: \left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+5, y_{1}+y_{2}\right)
  • Multiplicação por escalar: \alpha \otimes(x, y)=(\alpha x+5(\alpha-1), \alpha y) para \alpha \in R
    a) Calcule a e b para que a equação (a+2) \otimes(3,2)=(19, b) seja satisfeita em V
    b) Exiba o elemento neutro da adição do espaço vetorial W
    c) Exiba o elemento simétrico de vetor v=(x, y)
    d) Verifique se o conjunto W=\{(x, y) \in V ; \quad x=-5\} é um subespaço vetorial de V

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial real V=\{(x,y);\,x,y\in\mathbb{R}\} com operações não usuais:
  • Adição: \left(x_{1}, y_{1}\right)\oplus\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+5,\; y_{1}+y_{2}\right).
  • Multiplicação por escalar: \alpha\otimes(x,y)=(\alpha x+5(\alpha-1),\; \alpha y) para \alpha\in\mathbb{R}.
O enunciado pede:
(a) Calcular a e b de modo que (a+2)\otimes(3,2)=(19,b).
(b) Exibir o elemento neutro da adição em V.
(c) Exibir o elemento simétrico (inverso aditivo) de v=(x,y).
(d) Verificar se W=\{(x,y)\in V;\; x=-5\} é um subespaço vetorial de V.

Passo 2

Vamos primeiro entender e aplicar a definição de multiplicação por escalar dada. Para um escalar genérico \alpha e um vetor (u,v) vale:
\alpha\otimes(u,v)=(\alpha u+5(\alpha-1),\; \alpha v).
No item (a) o escalar é \alpha=a+2 e o vetor é (3,2). Substituindo:
(a+2)\otimes(3,2)=\big((a+2)\cdot 3 + 5\big((a+2)-1\big),\; (a+2)\cdot 2\big).

Passo 3

Agora simplifico cada componente passo a passo.
Componente x:
(a+2)\cdot 3 + 5\big((a+2)-1\big) = 3(a+2) + 5(a+1).
Distribuindo:
3a+6 + 5a+5 = 8a+11.
Componente y:
(a+2)\cdot 2 = 2a+4.
Queremos que esse resultado seja (19,b). Igualando componente a componente:
8a+11 = 19,\qquad 2a+4 = b.
Resolvo a primeira equação:
8a = 19-11 = 8 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Substituo em b:
b = 2a+4 = 2\cdot 1 + 4 = 6.

Passo 4

Item (b): encontrar o elemento neutro e=(e_1,e_2) da adição \oplus. Por definição, e satisfaz, para todo (x,y)\in V,
(x,y)\oplus(e_1,e_2) = (x,y)
ou equivalentemente
(x+e_1+5,\; y+e_2)=(x,y).
Igualando componentes obtemos duas equações:
x+e_1+5 = x \quad\Rightarrow\quad e_1+5=0,
y+e_2 = y \quad\Rightarrow\quad e_2=0.
Logo e_1=-5 e e_2=0. Assim o elemento neutro da adição é (-5,0).
Breve comentário didático: o elemento neutro é o vetor que, adicionado a qualquer outro vetor segundo a operação dada, não altera esse vetor. Aqui a “+5” na definição da adição desloca a coordenada x do neutro para -5.

Passo 5

Item (c): encontrar o simétrico (inverso aditivo) de v=(x,y), isto é, um vetor w=(u,v') tal que
(x,y)\oplus(u,v') = e,
onde e é o neutro encontrado (-5,0). Escrevo a equação:
(x+u+5,\; y+v') = (-5,0).
Igualando componentes:
x+u+5 = -5 \quad\Rightarrow\quad u = -10 - x,
y+v' = 0 \quad\Rightarrow\quad v' = -y.
Portanto o simétrico (inverso aditivo) de v=(x,y) é
(-10 - x,\; -y).
Explicação curta: por causa do termo constante +5 na adição, o inverso na coordenada x não é simplesmente -x; há um deslocamento adicional que gera -10-x.

Passo 6

Item (d): verificar se W=\{(x,y)\in V;\; x=-5\} é subespaço de V.
Critério que vou usar (didático): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se (i) contém o elemento neutro de V, (ii) é fechado sob a adição \oplus, e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar \otimes. Vou checar cada item.
(i) Contém o neutro? O neutro de V é (-5,0) (do Passo 4). Esse vetor tem primeira coordenada -5, logo (-5,0)\in W. OK.
(ii) Fechamento em relação à adição: pego dois vetores quaisquer de W,
u=(-5,y_1),\qquad v=(-5,y_2).
Calculo u\oplus v usando a definição:
u\oplus v = ((-5)+(-5)+5,\; y_1+y_2) = (-5,\; y_1+y_2).
A primeira coordenada ficou -5, logo u\oplus v\in W. Então W é fechado sob \oplus.
(iii) Fechamento sob escalar: pego \alpha\in\mathbb{R} e u=(-5,y)\in W. Calculo \alpha\otimes u com a definição:
\alpha\otimes(-5,y) = \big(\alpha(-5) + 5(\alpha-1),\; \alpha y\big).
Simplifico a primeira coordenada:
\alpha(-5) + 5(\alpha-1) = -5\alpha +5\alpha -5 = -5.
Portanto \alpha\otimes(-5,y) = (-5,\; \alpha y), cuja primeira coordenada é -5. Assim \alpha\otimes u\in W. Logo W é fechado sob \otimes.
Como (i), (ii) e (iii) são satisfeitos, W é um subespaço vetorial de V.

Passo 7

Resumo final (para checagem rápida): (a) resolvemos equações coordenada a coordenada; (b) calculamos o neutro pela condição de identidade aditiva; (c) resolvemos para o inverso pedindo soma igual ao neutro; (d) usamos os testes de conter o neutro e fechar em adição e multiplicação escalar. Tudo consistente com as operações dadas.

Resposta

a=1,\; b=6
Elemento neutro da adição: (-5,0)
Simétrico de v=(x,y): (-10 - x,\; -y)
W é subespaço vetorial de V: Sim

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