Questāo 2. [1,50 pontos]
Seja f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, x \in[-e, e]. Ache os pontos de máximo e de mínimo de f.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} definida no intervalo \displaystyle [-e,e] e pede: "Ache os pontos de máximo e de mínimo de f".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
  • O domínio a considerar é o intervalo fechado \displaystyle [-e,e].
  • Queremos os pontos (valores de x) onde f atinge máximo e mínimo no intervalo, e (implicitamente) os valores de f nesses pontos.

Passo 2

Estratégia padrão para funções diferenciáveis em um intervalo fechado (vou explicar o porquê): para encontrar máximos e mínimos absolutos numa região fechada devemos:
  1. calcular os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe;
  2. avaliar a função nesses pontos críticos;
  3. avaliar a função nas extremidades do intervalo;
  4. comparar os valores obtidos — o maior é máximo absoluto e o menor é mínimo absoluto.
    Vou aplicar essa receita passo a passo. Não se preocupe, eu explico cada fórmula usada.

Passo 3

Calcular a derivada de f. Primeiro, lembrando a regra: a derivada de e^{x} é e^{x} e a derivada de e^{-x} é -e^{-x} (pela regra da cadeia). Aplicando isso a
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
obtemos a derivada
f'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Observação útil: essa expressão também é chamada de \operatorname{sinh} x em notação de funções hiperbólicas, mas não precisa decorar isso — o que importa é saber a forma e o sinal dela.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Temos
\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^{x}-e^{-x}=0.
Multiplicando ambos os lados por e^{x} (sempre positivo, então a operação é válida):
e^{2x}-1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^{2x}=1.
A única solução real de e^{2x}=1 é 2x=0, então
x=0.
Portanto, o único ponto crítico no intervalo é x=0. A derivada existe para todo x, então não há outros pontos críticos por derivada inexistente.

Passo 5

Classificar o ponto crítico por segunda derivada (teste da segunda derivada). Calculemos f''(x). Derivando f'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} obtemos
f''(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Repare que f''(x) é exatamente a própria f(x). Em particular,
f''(0)=\frac{e^{0}+e^{0}}{2}=\frac{1+1}{2}=1>0.
Como f''(0)>0, pelo teste da segunda derivada x=0 é um ponto de mínimo local. Mais: note que f''(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} é sempre positiva para todo x (pois soma de exponenciais positivas), então a função é convexa em toda a reta — isso reforça que o ponto crítico é um mínimo global relativo.

Passo 6

Avaliar a função no ponto crítico e nas extremidades do intervalo para decidir máximos e mínimos absolutos. Primeiro, o valor em x=0:
f(0)=\frac{e^{0}+e^{0}}{2}=\frac{1+1}{2}=1.
Agora os valores nas extremidades x=e e x=-e. Observação: a função é par (pois e^{x}+e^{-x} é invariante por x\mapsto -x), então f(e)=f(-e). Calcule:
f(e)=\frac{e^{e}+e^{-e}}{2},\qquad f(-e)=\frac{e^{-e}+e^{e}}{2}=\frac{e^{e}+e^{-e}}{2}.
Compare f(0)=1 com f(e)=\frac{e^{e}+e^{-e}}{2}. Como e^{e}>1 e e^{-e}>0, claramente \frac{e^{e}+e^{-e}}{2}>1. Logo os valores nas extremidades são maiores que o valor no ponto crítico.
Também podemos usar o sinal da derivada para entender monotonicidade: como f'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} tem mesmo sinal de x (positivo para x>0, negativo para x<0), a função decresce em [-e,0] até x=0 e cresce em [0,e]. Isso confirma que x=0 é mínimo global no intervalo e que os máximos ocorrem nas extremidades x=\pm e.

Passo 7

Conclusão: o menor valor de f em [-e,e] ocorre em x=0 e vale 1. O maior valor de f em [-e,e] ocorre nas duas extremidades x=e e x=-e e vale \dfrac{e^{e}+e^{-e}}{2}.

Resposta

Mínimo em x=0 com f(0)=1.
Máximos em x=e e x=-e com f(e)=f(-e)=\dfrac{e^{e}+e^{-e}}{2}.

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