Questāo 2. [1,50 pontos]
Seja
. Ache os pontos de máximo e de mínimo de
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede: "Ache os pontos de máximo e de mínimo de
".
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O domínio a considerar é o intervalo fechado
. - Queremos os pontos (valores de
) onde atinge máximo e mínimo no intervalo, e (implicitamente) os valores de nesses pontos.
Passo 2
Estratégia padrão para funções diferenciáveis em um intervalo fechado (vou explicar o porquê): para encontrar máximos e mínimos absolutos numa região fechada devemos:
- calcular os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe;
- avaliar a função nesses pontos críticos;
- avaliar a função nas extremidades do intervalo;
- comparar os valores obtidos — o maior é máximo absoluto e o menor é mínimo absoluto.
Vou aplicar essa receita passo a passo. Não se preocupe, eu explico cada fórmula usada.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Primeiro, lembrando a regra: a derivada de
é
e a derivada de
é
(pela regra da cadeia). Aplicando isso a
obtemos a derivada
Observação útil: essa expressão também é chamada de
em notação de funções hiperbólicas, mas não precisa decorar isso — o que importa é saber a forma e o sinal dela.
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
. Temos
Multiplicando ambos os lados por
(sempre positivo, então a operação é válida):
A única solução real de
é
, então
Portanto, o único ponto crítico no intervalo é
. A derivada existe para todo
, então não há outros pontos críticos por derivada inexistente.
Passo 5
Classificar o ponto crítico por segunda derivada (teste da segunda derivada). Calculemos
. Derivando
obtemos
Repare que
é exatamente a própria
. Em particular,
Como
, pelo teste da segunda derivada
é um ponto de mínimo local. Mais: note que
é sempre positiva para todo
(pois soma de exponenciais positivas), então a função é convexa em toda a reta — isso reforça que o ponto crítico é um mínimo global relativo.
Passo 6
Avaliar a função no ponto crítico e nas extremidades do intervalo para decidir máximos e mínimos absolutos. Primeiro, o valor em
:
Agora os valores nas extremidades
e
. Observação: a função é par (pois
é invariante por
), então
. Calcule:
Compare
com
. Como
e
, claramente
. Logo os valores nas extremidades são maiores que o valor no ponto crítico.
Também podemos usar o sinal da derivada para entender monotonicidade: como
tem mesmo sinal de
(positivo para
, negativo para
), a função decresce em
até
e cresce em
. Isso confirma que
é mínimo global no intervalo e que os máximos ocorrem nas extremidades
.
Passo 7
Conclusão: o menor valor de
em
ocorre em
e vale
. O maior valor de
em
ocorre nas duas extremidades
e
e vale
.
Resposta
Mínimo em
com
.
Máximos em e
com
.
Máximos em