Problema 5 Resolva a integral
\iiint_{\Omega} d x d y d z
sendo \Omega a região do espaço delimitada pelos planos y-2 x=0, y-2 x=1, z-3 y=0, z-3 y=1, z-4 x=0 e z-4 x=3.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral tripla
\iiint_{\Omega} d x d y d z
onde \Omega é a região do espaço delimitada pelos seis planos dados.
Informações fornecidas (listei explicitamente as seis condições de fronteira):
y-2x=0,\qquad y-2x=1,
z-3y=0,\qquad z-3y=1,
z-4x=0,\qquad z-4x=3.
Ou seja, a região \Omega é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que as quantidades \;y-2x,\;z-3y,\;z-4x\; variam entre os respectivos valores dados acima (cada uma entre duas constantes).
O objetivo é encontrar o volume de \Omega, já que integrar 1 sobre \Omega dá o volume:
\iiint_{\Omega} d x d y d z = \text{Vol}(\Omega).

Passo 2

Ideia prática (não resolvo ainda, só explico o plano): cada uma das três expressões lineares \;y-2x,\;z-3y,\;z-4x\;\) é constante em dois planos que aparecem no enunciado. Isso sugere usar essas expressões como novas variáveis. Definimos a mudança de variáveis linear \[\begin{cases} u = y - 2x,\\[4pt] v = z - 3y,\\[4pt] w = z - 4x. \end{cases}
Observação imediata: pelas equações dos planos dadas no enunciado temos os intervalos
u\in[0,1],\qquad v\in[0,1],\qquad w\in[0,3].
Logo, na nova coordenada (u,v,w)\] a região \(\Omega corresponde ao paralelepípedo retangular (caixa) [0,1]\times[0,1]\times[0,3]. O que precisamos agora é escrever dxdydz em função de dudvdw; isto é, calcular o jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z).]

Passo 3

Resolver a transformação para obter (x,y,z) em função de (u,v,w). Parto das definições
u = y - 2x,\qquad v = z - 3y,\qquad w = z - 4x.
Passo 1: da primeira equação obtemos
y = u + 2x.
Passo 2: das segundas duas equações temos duas expressões para z:
z = v + 3y
e
z = w + 4x.
Igualando-as e substituindo y = u + 2x:
v + 3(u + 2x) = w + 4x.
Desenvolvendo:
v + 3u + 6x = w + 4x.
Isolando x:
2x = w - 3u - v \quad\Rightarrow\quad x = \frac{w - 3u - v}{2}.
Agora y = u + 2x
y = u + 2\cdot\frac{w - 3u - v}{2} = u + (w - 3u - v) = w - 2u - v.
E z = w + 4x
z = w + 4\cdot\frac{w - 3u - v}{2} = w + 2(w - 3u - v) = 3w - 6u - 2v.
Portanto a transformação inversa é linear e vale
\begin{cases} x(u,v,w) = \dfrac{w - 3u - v}{2},\\[6pt] y(u,v,w) = w - 2u - v,\\[6pt] z(u,v,w) = 3w - 6u - 2v. \end{cases}]

Passo 4

Explicar o que é o jacobiano e por que precisamos dele: ao fazer a mudança de variáveis em uma integral múltipla, o elemento de volume transforma-se segundo o determinante da matriz das derivadas parciais (o jacobiano). Em símbolos,
dxdydz = \left|\det\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right)\right| dudvdw.
Vamos calcular a matriz das derivadas parciais \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}. Derivando as fórmulas obtidas no passo anterior:
\frac{\partial x}{\partial u} = -\tfrac{3}{2},\qquad \frac{\partial x}{\partial v} = -\tfrac{1}{2},\qquad \frac{\partial x}{\partial w} = \tfrac{1}{2},
\frac{\partial y}{\partial u} = -2,\qquad \frac{\partial y}{\partial v} = -1,\qquad \frac{\partial y}{\partial w} = 1,
\frac{\partial z}{\partial u} = -6,\qquad \frac{\partial z}{\partial v} = -2,\qquad \frac{\partial z}{\partial w} = 3.
Assim a matriz jacobiana é
J=\begin{pmatrix} -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -2 & -1 & 1\\[4pt] -6 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante de J. Faço a expansão pela primeira linha para ficar claro passo a passo:
\det J = -\tfrac{3}{2}\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix} -\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]-6 & 3\end{pmatrix} +\tfrac{1}{2}\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\[4pt]-6 & -2\end{pmatrix}.
Calculo os determinantes 2×2 separadamente:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix} = (-1)\cdot 3 - 1\cdot(-2) = -3 + 2 = -1,
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]-6 & 3\end{pmatrix} = (-2)\cdot 3 - 1\cdot(-6) = -6 + 6 = 0,
\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\[4pt]-6 & -2\end{pmatrix} = (-2)\cdot(-2) - (-1)\cdot(-6) = 4 - 6 = -2.
Substituindo:
\det J = -\tfrac{3}{2}\cdot(-1) -\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\cdot(-2) = \tfrac{3}{2} + 0 - 1 = \tfrac{1}{2}.
Portanto o valor absoluto do jacobiano é
\left|\det\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right)\right| = \tfrac{1}{2}.
Observação didática rápida: o jacobiano positivo \tfrac{1}{2} significa que volumes em (u,v,w) são escalados por fator \tfrac{1}{2} ao passar para (x,y,z).]

Passo 5

Agora substituímos na integral. Como \Omega corresponde ao paralelepípedo em (u,v,w) com u\in[0,1],\;v\in[0,1],\;w\in[0,3], temos
\iiint_{\Omega} d x d y d z = \iiint_{[0,1]\times[0,1]\times[0,3]} \left|\det\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right)\right| dudvdw.
Como o jacobiano é constante igual a \tfrac{1}{2}, a integral fica
\iiint_{\Omega} d x d y d z = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{3} dudvdw.
A integral do produto separável é o produto dos comprimentos dos intervalos:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{3} dudvdw = 1\cdot 1\cdot 3 = 3.
Portanto
\iiint_{\Omega} d x d y d z = \tfrac{1}{2}\cdot 3 = \tfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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