sendo \Omega a região do espaço delimitada pelos planos y-2 x=0, y-2 x=1, z-3 y=0, z-3 y=1, z-4 x=0 e z-4 x=3.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral tripla
\iiint_{\Omega} d x d y d z
onde \Omega é a região do espaço delimitada pelos seis planos dados.
Informações fornecidas (listei explicitamente as seis condições de fronteira):
y-2x=0,\qquad y-2x=1,
z-3y=0,\qquad z-3y=1,
z-4x=0,\qquad z-4x=3.
Ou seja, a região \Omega é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que as quantidades \;y-2x,\;z-3y,\;z-4x\; variam entre os respectivos valores dados acima (cada uma entre duas constantes).
O objetivo é encontrar o volume de \Omega, já que integrar 1 sobre \Omega dá o volume:
\iiint_{\Omega} d x d y d z = \text{Vol}(\Omega).
Passo 2
Ideia prática (não resolvo ainda, só explico o plano): cada uma das três expressões lineares \;y-2x,\;z-3y,\;z-4x\;\) é constante em dois planos que aparecem no enunciado. Isso sugere usar essas expressões como novas variáveis. Definimos a mudança de variáveis linear
\[\begin{cases} u = y - 2x,\\[4pt] v = z - 3y,\\[4pt] w = z - 4x. \end{cases}
Observação imediata: pelas equações dos planos dadas no enunciado temos os intervalos
u\in[0,1],\qquad v\in[0,1],\qquad w\in[0,3].
Logo, na nova coordenada (u,v,w)\] a região \(\Omega corresponde ao paralelepípedo retangular (caixa) [0,1]\times[0,1]\times[0,3]. O que precisamos agora é escrever dxdydz em função de dudvdw; isto é, calcular o jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z).]
Passo 3
Resolver a transformação para obter (x,y,z) em função de (u,v,w). Parto das definições
u = y - 2x,\qquad v = z - 3y,\qquad w = z - 4x.
Passo 1: da primeira equação obtemos
y = u + 2x.
Passo 2: das segundas duas equações temos duas expressões para z:
z = v + 3y
e
z = w + 4x.
Igualando-as e substituindo y = u + 2x:
v + 3(u + 2x) = w + 4x.
Desenvolvendo:
v + 3u + 6x = w + 4x.
Isolando x:
2x = w - 3u - v \quad\Rightarrow\quad x = \frac{w - 3u - v}{2}.
Agora y = u + 2x dá
y = u + 2\cdot\frac{w - 3u - v}{2} = u + (w - 3u - v) = w - 2u - v.
E z = w + 4x dá
z = w + 4\cdot\frac{w - 3u - v}{2} = w + 2(w - 3u - v) = 3w - 6u - 2v.
Explicar o que é o jacobiano e por que precisamos dele: ao fazer a mudança de variáveis em uma integral múltipla, o elemento de volume transforma-se segundo o determinante da matriz das derivadas parciais (o jacobiano). Em símbolos,
Observação didática rápida: o jacobiano positivo \tfrac{1}{2} significa que volumes em (u,v,w) são escalados por fator \tfrac{1}{2} ao passar para (x,y,z).]
Passo 5
Agora substituímos na integral. Como \Omega corresponde ao paralelepípedo em (u,v,w) com u\in[0,1],\;v\in[0,1],\;w\in[0,3], temos
\iiint_{\Omega} d x d y d z = \iiint_{[0,1]\times[0,1]\times[0,3]} \left|\det\left(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right)\right| dudvdw.
Como o jacobiano é constante igual a \tfrac{1}{2}, a integral fica
\iiint_{\Omega} d x d y d z = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{3} dudvdw.
A integral do produto separável é o produto dos comprimentos dos intervalos: