Problema 4 Calcule a massa da esfera sólida de raio 4 centrada na origem cuja densidade em cada ponto é dada pela adição de uma unidade à distância deste ponto à origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa da esfera sólida centrada na origem com raio
, cuja densidade em cada ponto é igual a uma unidade mais a distância desse ponto à origem.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Raio da esfera:
. - A esfera está centrada na origem.
- A densidade em cada ponto depende só da distância ao centro e vale
, onde é a distância do ponto à origem.
O que devemos encontrar: a massa total da esfera, ou seja, a integral da densidade sobre o volume da bola de raio.
Passo 2
Por simetria radial (a densidade depende só de
), o método mais simples é usar coordenadas esféricas. Vou explicar por que: quando a densidade depende apenas da distância ao centro, integrar em coordenadas esféricas transforma a integral tripla numa integral radial vezes fatores angulares separados, o que simplifica muito os cálculos. Outra opção seria coordenadas cartesianas ou cilíndricas, mas essas dão integrais mais complicadas para volumes esféricos.
Passo 3
Lembrete rápido de coordenadas esféricas (muito útil aqui):
- As coordenadas esféricas são
, onde é a distância ao origem, é o ângulo azimutal no plano (vai de a ) e é o ângulo polar medido a partir do eixo (vai de a ). - As relações com coordenadas cartesianas são
. - O elemento de volume em esféricas é dado por
Explicação do elemento de volume: imagine um pequeno paralelepípedo esférico com lados aproximadamente, e ; o volume aproximado é o produto desses comprimentos, daí .
Passo 4
Escrevendo a massa
como integral do densidade sobre o volume da bola de raio
: a densidade radial eu chamei de
. Em esféricas, a integral fica (limites padrão para a bola centrada na origem):
Substituindo
:
Passo 5
Vamos separar a integral em parte radial e parte angular, pois o integrando fatoriza:
. Primeiro calcule a integral radial
Calcule as primitivas termo a termo:
Avalia de
a
:
Calcule
, então
Portanto a integral radial vale
.
Passo 6
Agora calcule as integrais angulares que restaram:
Multiplicando tudo (angular vezes radial):
Simplificando,
Passo 7
Checagem rápida por intuição: se a densidade fosse constante
, a massa seria o volume da bola
. Como a densidade aqui é
, que em média vale
(valor médio de
na bola) e o valor médio de
numa bola de raio
é
(fórmula conhecida), para
isso dá média de
, logo densidade média
e massa
vezes o caso constante, o que coincide com
. Isso confirma que o resultado faz sentido.