Problema 4 Calcule a massa da esfera sólida de raio 4 centrada na origem cuja densidade em cada ponto é dada pela adição de uma unidade à distância deste ponto à origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa da esfera sólida centrada na origem com raio 4, cuja densidade em cada ponto é igual a uma unidade mais a distância desse ponto à origem.
Informações dadas:
  • Raio da esfera: 4.
  • A esfera está centrada na origem.
  • A densidade em cada ponto depende só da distância ao centro e vale \,1 + r, onde r é a distância do ponto à origem.
    O que devemos encontrar: a massa total da esfera, ou seja, a integral da densidade sobre o volume da bola de raio 4.

Passo 2

Por simetria radial (a densidade depende só de r), o método mais simples é usar coordenadas esféricas. Vou explicar por que: quando a densidade depende apenas da distância ao centro, integrar em coordenadas esféricas transforma a integral tripla numa integral radial vezes fatores angulares separados, o que simplifica muito os cálculos. Outra opção seria coordenadas cartesianas ou cilíndricas, mas essas dão integrais mais complicadas para volumes esféricos.

Passo 3

Lembrete rápido de coordenadas esféricas (muito útil aqui):
  • As coordenadas esféricas são (r,\theta,\varphi), onde r é a distância ao origem, \theta é o ângulo azimutal no plano xy (vai de 0 a 2\pi) e \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (vai de 0 a \pi).
  • As relações com coordenadas cartesianas são \,x=r\sin\varphi\cos\theta,\; y=r\sin\varphi\sin\theta,\; z=r\cos\varphi\,.
  • O elemento de volume em esféricas é dado por \,dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\,.
    Explicação do elemento de volume: imagine um pequeno paralelepípedo esférico com lados aproximadamente dr, r\,d\varphi e r\sin\varphi\,d\theta; o volume aproximado é o produto desses comprimentos, daí r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Escrevendo a massa M como integral do densidade sobre o volume da bola de raio 4: a densidade radial eu chamei de \delta(r)=1+r. Em esféricas, a integral fica (limites padrão para a bola centrada na origem):
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{4} \delta(r)\, r^{2}\sin\varphi \;dr\,d\varphi\,d\theta
Substituindo \delta(r)=1+r:
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{4} (1+r)\, r^{2}\sin\varphi \;dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Vamos separar a integral em parte radial e parte angular, pois o integrando fatoriza: (1+r)r^{2}\sin\varphi = \big((1+r)r^{2}\big)\cdot \sin\varphi. Primeiro calcule a integral radial
\int_{0}^{4} (1+r)r^{2}\,dr=\int_{0}^{4} \big(r^{2}+r^{3}\big)\,dr.
Calcule as primitivas termo a termo:
\int r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3},\qquad \int r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4}.
Avalia de 0 a 4:
\left[\frac{r^{3}}{3}+\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{4}=\frac{4^{3}}{3}+\frac{4^{4}}{4}=\frac{64}{3}+\frac{256}{4}.
Calcule \frac{256}{4}=64, então
\frac{64}{3}+64=\frac{64}{3}+\frac{192}{3}=\frac{256}{3}.
Portanto a integral radial vale \,\dfrac{256}{3}.

Passo 6

Agora calcule as integrais angulares que restaram:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi}= -\cos\pi +\cos 0 = -(-1)+1 = 2,
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo (angular vezes radial):
M = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{4}(1+r)r^{2}\,dr\right) =2\pi\cdot 2 \cdot \frac{256}{3}.
Simplificando,
M = 4\pi\cdot \frac{256}{3} = \frac{1024\pi}{3}.

Passo 7

Checagem rápida por intuição: se a densidade fosse constante 1, a massa seria o volume da bola \dfrac{4}{3}\pi 4^{3}=\dfrac{256\pi}{3}. Como a densidade aqui é (1+r), que em média vale 1+ (valor médio de r na bola) e o valor médio de r numa bola de raio R é \dfrac{3R}{4} (fórmula conhecida), para R=4 isso dá média de r=3, logo densidade média 1+3=4 e massa \approx 4 vezes o caso constante, o que coincide com \dfrac{1024\pi}{3}. Isso confirma que o resultado faz sentido.

Resposta

\dfrac{1024\pi}{3}

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