Questão 10)A água escoa em um tubo cilíndrico, preenchendo-o completamente, com uma vazão de 1,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. A área transversal do tubo possui área que varia ao longo do sentido do escoamento. (a) Qual o volume de água transportado em 1 min ? (b) Qual a velocidade do fluído neste ponto? (b) Em um determinado ponto do tubo o diâmetro é de 30 cm . (c) Em um segundo ponto a velocidade passa a ser 3,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual o diâmetro do tubo neste ponto?

Passo 1

O enunciado dá a vazão volumétrica de água num tubo como \,Q = 1,2\\ \mathrm{m^3/s}. Pede:
(a) o volume transportado em 1 minuto;
(b) a velocidade do fluido num ponto onde o diâmetro é 30\\ \mathrm{cm};
(c) o diâmetro num ponto onde a velocidade é 3,8\\ \mathrm{m/s}.
Para resolver, usaremos a definição de vazão e a equação da continuidade para escoamento incompressível:
Q = A \, v
além da área de seção circular
A = \frac{\pi D^2}{4}.

Passo 2

Para (a), o volume transportado em um intervalo de tempo t é
V = Q \, t.
Aqui t = 1\\ \text{minuto} = 60\\ \mathrm{s}. Logo,
V = 1{,}2\\ \mathrm{m^3/s} \;\times\; 60\\ \mathrm{s} \;=\; 72\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Para (b), num ponto em que D_{1} = 30\\ \mathrm{cm} = 0{,}30\\ \mathrm{m}, a área é
A_{1} = \frac{\pi\,D_{1}^{2}}{4} = \frac{\pi\,(0{,}30)^{2}}{4} \approx 0{,}0707\\ \mathrm{m^2}.
Pela continuidade,
v_{1} = \frac{Q}{A_{1}} = \frac{1{,}2}{0{,}0707} \approx 16{,}98\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para (c), a velocidade no segundo ponto é v_{2}=3{,}8\\ \mathrm{m/s}. Da continuidade obtemos a área
A_{2} = \frac{Q}{v_{2}} = \frac{1{,}2}{3{,}8} \approx 0{,}3158\\ \mathrm{m^2}.
Invertendo a fórmula da área circular para achar o diâmetro,
D_{2} = \sqrt{\frac{4\,A_{2}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \times 0{,}3158}{\pi}} \approx 0{,}634\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 72\\ \mathrm{m^3}
(b) v_{1}\approx 16{,}98\\ \mathrm{m/s}
(c) D_{2}\approx 0{,}634\\ \mathrm{m}

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