O espaço entre duas esferas concêntricas de raios r_{1} e r_{2} encontra-se preenchido com um material não condutor de densidade volumétrica de carga \rho. Determine o potencial elétrico V, em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões:
(a) r>r_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que entre duas esferas concêntricas de raios (r_{1},r_{2}) há um material isolante com densidade volumétrica de carga \rho. Queremos achar o potencial elétrico V(r) para r>r_{2}. Aqui vamos usar a lei de Gauss para obter o campo elétrico e em seguida a definição de potencial como integral do campo.

Passo 2

Primeiro calculamos a carga total Q contida no casquete esférico de raio interno r_{1} e externo r_{2}. Como \rho é constante,
Q = \rho \times \text{(volume entre as esferas)} = \rho \,\frac{4\pi}{3}\bigl(r_{2}^{3}-r_{1}^{3}\bigr).

Passo 3

Para r>r_{2} aplicamos a lei de Gauss em uma esfera de raio r:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\; \frac{Q}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.

Passo 4

O potencial é dado por
V(r)-V(\infty) \;=\; -\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'.
Como escolhemos V(\infty)=0, temos
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,{r'}^{2}}\,dr' = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,r}.
Substituindo Q do Passo 2 resulta
V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{\rho\,\frac{4\pi}{3}\bigl(r_{2}^{3}-r_{1}^{3}\bigr)}{r} = \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}\;\frac{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}{r}.

Resposta

V(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}\;\frac{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}{r}, \qquad r>r_{2}.

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