As perguntas são:
(a) Determinar k.
(b) Obter a f.d.a. F(x) (função de distribuição acumulada).
(c) Calcular P(3<X<5).
(d) Determinar o percentil de 90\%.
Informações relevantes fornecidas:
A densidade é constante igual a k no intervalo [2,6] e zero fora.
Tratar-se-ão de probabilidades de uma variável contínua definida por essa densidade.
Passo 2
Conceito necessário (aula rápida): para que f seja densidade de probabilidade de uma variável contínua, ela deve ser não-negativa e integrar 1 em toda a reta. Ou seja,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui f(x)=0 fora de [2,6], então a integral reduz-se a integrar k em [2,6]. Calculemos:
Conceito necessário (aula rápida): a função de distribuição acumulada F(x) é definida por
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Para uma densidade constante em um intervalo, integra-se a constante sobre a parte do intervalo que fica abaixo de x. Vamos construir F(x) em três regiões.
Se x<2: nenhum ponto de massagem está à esquerda de x, logo
F(x)=0.
Se 2\le x\le 6: integra-se k=\dfrac{1}{4} de 2 até x:
Explicação didática: como a densidade é uniforme no trecho, a probabilidade acumulada cresce linearmente com a largura x-2 multiplicada pela altura 1/4.
Verificação rápida (sanity check): em x=2 obtemos F(2)=\dfrac{1}{4}(2-2)=0 e em x=6 obtemos F(6)=\dfrac{1}{4}(6-2)=1, consistente com a definição de c.d.f.
Passo 5
Calcular P(3<X<5).
Conceito necessário: para variável contínua, P(a<X<b)=F(b)-F(a) (porque pontos isolados têm probabilidade zero). Logo
P(3<X<5)=F(5)-F(3).
Como 3 e 5 estão no intervalo [2,6], usamos F(x)=\dfrac{1}{4}(x-2). Então
Conceito necessário: o percentil de p (aqui p=0{,}90) é o valor x_p tal que F(x_p)=p. Para distribuições contínuas e monotônicas, pode-se inverter F no intervalo onde ela varia.