Questão 10.
f(x)= \begin{cases}k, & 2 \leq x \leq 6 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}á
(a) Determine k.
(b) Obtenha a f.d.a. F(x).
(c) Calcule P(3<X<5).
(d) Determine o percentil 90 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases}k, & 2 \leq x \leq 6 \\\\ 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
As perguntas são:
(a) Determinar k.
(b) Obter a f.d.a. F(x) (função de distribuição acumulada).
(c) Calcular P(3<X<5).
(d) Determinar o percentil de 90\%.
Informações relevantes fornecidas:
  • A densidade é constante igual a k no intervalo [2,6] e zero fora.
  • Tratar-se-ão de probabilidades de uma variável contínua definida por essa densidade.

Passo 2

Conceito necessário (aula rápida): para que f seja densidade de probabilidade de uma variável contínua, ela deve ser não-negativa e integrar 1 em toda a reta. Ou seja,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui f(x)=0 fora de [2,6], então a integral reduz-se a integrar k em [2,6]. Calculemos:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{2}^{6} k\,dx = k\cdot(6-2)=4k.
Impondo que essa integral seja 1:
4k = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{4}.
Portanto k=\dfrac{1}{4}.

Passo 3

Conceito necessário (aula rápida): a função de distribuição acumulada F(x) é definida por
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Para uma densidade constante em um intervalo, integra-se a constante sobre a parte do intervalo que fica abaixo de x. Vamos construir F(x) em três regiões.
  1. Se x<2: nenhum ponto de massagem está à esquerda de x, logo
F(x)=0.
  1. Se 2\le x\le 6: integra-se k=\dfrac{1}{4} de 2 até x:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{2}^{x} \frac{1}{4}\,dt = \frac{1}{4}(x-2).
Explicação didática: como a densidade é uniforme no trecho, a probabilidade acumulada cresce linearmente com a largura x-2 multiplicada pela altura 1/4.
  1. Se x>6: toda a massa já foi acumulada, então
F(x)=1.
Juntando em forma peça a peça:
F(x)=\begin{cases} 0, & x<2,\\[4pt] \dfrac{1}{4}(x-2), & 2\le x\le 6,\\[6pt] 1, & x>6. \end{cases}]

Passo 4

Verificação rápida (sanity check): em x=2 obtemos F(2)=\dfrac{1}{4}(2-2)=0 e em x=6 obtemos F(6)=\dfrac{1}{4}(6-2)=1, consistente com a definição de c.d.f.

Passo 5

Calcular P(3<X<5).
Conceito necessário: para variável contínua, P(a<X<b)=F(b)-F(a) (porque pontos isolados têm probabilidade zero). Logo
P(3<X<5)=F(5)-F(3).
Como 3 e 5 estão no intervalo [2,6], usamos F(x)=\dfrac{1}{4}(x-2). Então
F(5)=\frac{1}{4}(5-2)=\frac{3}{4}, \qquad F(3)=\frac{1}{4}(3-2)=\frac{1}{4}.
Portanto
P(3<X<5)=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Determinar o percentil de 90\%.
Conceito necessário: o percentil de p (aqui p=0{,}90) é o valor x_p tal que F(x_p)=p. Para distribuições contínuas e monotônicas, pode-se inverter F no intervalo onde ela varia.
Procuramos x em [2,6] tal que
\frac{1}{4}(x-2)=0{,}90.
Resolver:
x-2 = 4\cdot 0{,}90 = 3{,}6 \quad\Rightarrow\quad x = 2 + 3{,}6 = 5{,}6.
Assim, o percentil de 90\% é 5{,}6.

Resposta

k=\dfrac{1}{4}\) \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<2,\\[4pt] \dfrac{1}{4}(x-2), & 2\le x\le 6,\\[6pt] 1, & x>6, \end{cases}
P(3<X<5)=\dfrac{1}{2}\] Percentil \(90\% = 5{,}6]

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