com c desconhecido. As perguntas são:
(a) Determine c.
(b) Calcule P(X>3).
(c) Obtenha a função distribuição acumulada F(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A variável aleatória X tem densidade f(x)=c e^{-x} apenas para x\geq1; para x<1 a densidade é zero.
c é uma constante real positiva que normaliza a densidade (não está dada).
As probabilidades pedidas (no item b e no item c) dependem de integrar essa densidade no intervalo adequado.]
Passo 2
Entendendo o que significa "determinar c". Para que f(x) seja uma f.d.p. válida, a integral da densidade em toda a reta deve valer 1:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui a densidade é zero para x<1, então a integral sobre a reta reduz-se à integral sobre [1,\infty):
\int_{1}^{\infty} c e^{-x}\,dx = 1.
Explico: integrar a densidade sobre todo o espaço dá a probabilidade total que tem que ser 1. A constante c serve justamente para ajustar a área sob a curva e^{-x} no intervalo [1,\infty) para que essa área seja 1.
Passo 3
Calcule a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-x}\,dx. Primeiro lembrando uma primitiva básica:
Valor em x=1: F(1)=1-e^{1-1}=1-e^{0}=0, compatível com F(x)=0 para x<1 e com a continuidade à direita exigida para CDFs.
Limite quando x\to\infty: e^{1-x}\to0, então F(x)\to1, como esperado.
Derivando F(x) para x>1: \dfrac{d}{dx}\bigl(1-e^{1-x}\bigr)=e^{1-x}, que é exatamente f(x) (já que f(x)=e^{1-x} para x\ge1). Isso confirma a consistência entre densidade e CDF.
Dica para prova: calcular P(X>a) pode ser feito integrando f de a a \infty ou usando P(X>a)=1-F(a) quando F já estiver conhecida.