Questão 8. Considere a f.d.p.
f(x)= \begin{cases}c e^{-x}, & x \geq 1 \\\\ 0, & x<1\end{cases}
(a) Determine c.
(b) Calcule P(X>3).
(c) Obtenha a f.d.a. F(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade (f.d.p.)
f(x)= \begin{cases}c e^{-x}, & x \geq 1 \\[4pt] 0, & x<1\end{cases}
com c desconhecido. As perguntas são:
(a) Determine c.
(b) Calcule P(X>3).
(c) Obtenha a função distribuição acumulada F(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável aleatória X tem densidade f(x)=c e^{-x} apenas para x\geq1; para x<1 a densidade é zero.
  • c é uma constante real positiva que normaliza a densidade (não está dada).
  • As probabilidades pedidas (no item b e no item c) dependem de integrar essa densidade no intervalo adequado.]

Passo 2

Entendendo o que significa "determinar c". Para que f(x) seja uma f.d.p. válida, a integral da densidade em toda a reta deve valer 1:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui a densidade é zero para x<1, então a integral sobre a reta reduz-se à integral sobre [1,\infty):
\int_{1}^{\infty} c e^{-x}\,dx = 1.
Explico: integrar a densidade sobre todo o espaço dá a probabilidade total que tem que ser 1. A constante c serve justamente para ajustar a área sob a curva e^{-x} no intervalo [1,\infty) para que essa área seja 1.

Passo 3

Calcule a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-x}\,dx. Primeiro lembrando uma primitiva básica:
\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x},
logo uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}.
Agora avaliar o limite:
\int_{1}^{\infty} e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \bigl[-e^{-x}\bigr]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty} \bigl(-e^{-b} + e^{-1}\bigr).
Como e^{-b}\to0 quando b\to\infty, obtemos
\int_{1}^{\infty} e^{-x}\,dx = e^{-1}.

Passo 4

Voltar à equação de normalização com o fator c:
c\int_{1}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1.
Substituindo o resultado anterior:
c \cdot e^{-1} = 1.
Resolver para c:
c = e.
Comentário didático: c é exatamente e porque a função e^{-x} já tem área e^{-1} no intervalo [1,\infty); multiplicando por e ajustamos a área para 1.

Passo 5

Calcular P(X>3). Por definição, para variável contínua,
P(X>3)=\int_{3}^{\infty} f(x)\,dx.
Substituindo f(x)=c e^{-x} e c=e:
P(X>3)=\int_{3}^{\infty} e\cdot e^{-x}\,dx = e\int_{3}^{\infty} e^{-x}\,dx.
Já sabemos a primitiva, então
\int_{3}^{\infty} e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{3}^{\infty} = 0 - (-e^{-3}) = e^{-3}.
Portanto
P(X>3)= e\cdot e^{-3} = e^{-2}.
Interpretação rápida: a “cauda” além de 3 decai exponencialmente; a constante e cancela parte do expoente, sobrando e^{-2}.

Passo 6

Obter a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Como a densidade é zero para x<1, para x<1 temos imediatamente
F(x)=0,\qquad x<1.
Para x\geq1, F(x) é a integral da densidade desde o menor ponto de suporte ( 1) até x:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{1}^{x} c e^{-t}\,dt,
onde usei t como variável de integração (evita confundir o limite superior x com a variável do integrando). Substituindo c=e:
F(x)= e\int_{1}^{x} e^{-t}\,dt.

Passo 7

Calcule explicitamente a integral para x\ge1:
\int_{1}^{x} e^{-t}\,dt = \bigl[-e^{-t}\bigr]_{1}^{x} = -e^{-x} + e^{-1} = e^{-1}-e^{-x}.
Multiplicando por e:
F(x)= e\bigl(e^{-1}-e^{-x}\bigr) = 1 - e^{1-x},\qquad x\ge1.
Resumo em forma de função peça a peça:
F(x)=\begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] 1 - e^{1-x}, & x\ge1. \end{cases}]

Passo 8

Verificações e observações úteis para a prova:
  • Valor em x=1: F(1)=1-e^{1-1}=1-e^{0}=0, compatível com F(x)=0 para x<1 e com a continuidade à direita exigida para CDFs.
  • Limite quando x\to\infty: e^{1-x}\to0, então F(x)\to1, como esperado.
  • Derivando F(x) para x>1: \dfrac{d}{dx}\bigl(1-e^{1-x}\bigr)=e^{1-x}, que é exatamente f(x) (já que f(x)=e^{1-x} para x\ge1). Isso confirma a consistência entre densidade e CDF.
  • Dica para prova: calcular P(X>a) pode ser feito integrando f de a a \infty ou usando P(X>a)=1-F(a) quando F já estiver conhecida.

Resposta

(a) c=e\) (b) \(P(X>3)=e^{-2}\) \text{(c)} \(F(x)=\begin{cases}0, & x<1,\\[4pt]1-e^{1-x}, & x\ge1.\end{cases}]

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