Questão 11. O tempo de incubação da COVID-19 para certa variante segue:
X \sim N(5.5,1.2)
Calcule P(X<4).

Passo 1

O enunciado nos dá a informação probabilística:
  • X\sim N(5,5,1,2).
    Aqui vou interpretar isso como média \mu=5,5 e variância \sigma^{2}=1,2.
  • Pedido: calcular P(X<4).

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): a distribuição normal N(\mu,\sigma^{2}) é uma distribuição contínua em que a média \mu centraliza a curva e o desvio-padrão \sigma (raiz da variância) controla a largura. Para calcular probabilidades como P(X<a) transformamos X em uma variável normal padrão Z (média 0 e variância 1) usando a padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicando cada símbolo:
  • X é a variável original (aqui tempo de incubação),
  • \mu é a média de X (aqui 5,5),
  • \sigma é o desvio-padrão de X (aqui \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{1,2}),
  • Z é a nova variável padrão com distribuição N(0,1).
    A vantagem: tabelas/recursos dão valores de P(Z\le z), então reduzimos P(X<4) a P(Z\le z) para um z específico.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão:
\sigma=\sqrt{1,2}.
Aproximação prática: \sqrt{1,2}\approx 1,095445 (só precisa de umas casas para a prova).
Agora padronizar X=4:
z=\frac{4-\mu}{\sigma}=\frac{4-5,5}{\sqrt{1,2}}=\frac{-1,5}{\sqrt{1,2}}\approx\frac{-1,5}{1,095445}\approx-1,3693.

Passo 4

Agora usamos a distribuição padrão. Temos
P(X<4)=P\!\left(Z< -1,3693\right).
Como a normal padrão é simétrica, podemos usar \Phi (função distribuição padrão) e a propriedade \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim:
P\!\left(Z< -1,3693\right)=\Phi(-1,3693)=1-\Phi(1,3693).
Consulta a tabela da normal padrão (ou calculadora) dá valores próximos a:
\Phi(1,36)=0,9131,\qquad \Phi(1,37)=0,9147.
Interpolando para 1,3693 (próximo de 1,37) obtemos aproximadamente
\Phi(1,3693)\approx 0,9146.
Logo
P(X<4)=1-0,9146=0,0854.

Passo 5

Interpretação final curta e incentivadora: a probabilidade de a incubação ser menor que 4 dias é cerca de 0,0854, ou seja, aproximadamente 8{,}54\%. Dá para arredondar na prova para 0{,}085 ou 8{,}5\% se pedirem menos casas.

Resposta

P(X<4)=0,0854

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