Questão 10. Se um botijão de gás custava \mathrm{R} \ 36,00 em janeiro de 2.011 e nos três meses seguintes o botijão sofreu os seguintes aumentos sucessivosêã2 %, 3 % e5 %$. Qual deve ser a taxa de desconto único que devemos dar para que o botijão volte a ser o valor que era em janeiro de 2.011 ?

Passo 1

O enunciado dá o preço inicial do botijão e três aumentos sucessivos, e pede a taxa de desconto único que faz o preço voltar ao valor inicial. Informações relevantes fornecidas:
  • Preço em janeiro de 2011: R\$\,36{,}00.
  • Aumentos sucessivos de 2\%, 3\% e 5\% nos três meses seguintes.
  • Queremos a taxa de desconto único d (em porcentagem) que, aplicada sobre o preço final depois dos aumentos, faça o preço voltar a R\$\,36{,}00.

Passo 2

Entendendo como porcentagens sucessivas funcionam (a “aula” rápida e prática).
  • Um aumento de x\% significa multiplicar o preço por 1 + x/100. Por exemplo, aumentar 2\% é multiplicar por 1{,}02.
  • Para aumentos sucessivos, multiplicamos os fatores de aumento. Se tivermos aumentos de 2\%, 3\% e 5\%, o fator total é
(1{,}02)\times(1{,}03)\times(1{,}05).
Isso porque cada aumento incide sobre o preço já aumentado anteriormente (efeito composto).

Passo 3

Calcular o fator composto dos aumentos passo a passo:
  • Primeiro: 1{,}02\times 1{,}03 = 1{,}0506.
  • Depois: 1{,}0506\times 1{,}05 = 1{,}10313.
    Portanto o preço final após os três aumentos é
P_f = 36{,}00 \times 1{,}10313.
Agora calculamos P_f de forma clara e sem pular etapas:
  • 36{,}00\times 1 = 36{,}00.
  • 36{,}00\times 0{,}10313 = 3{,}71268.
    Somando:
P_f = 36{,}00 + 3{,}71268 = 39{,}71268.
Ou seja, depois dos aumentos o botijão custa R\$\,39{,}71268.

Passo 4

Definir o desconto único d.
  • Desconto de d significa multiplicar o preço por 1-d (onde d é em forma decimal).
  • Queremos que aplicando esse desconto ao preço final P_f obtenhamos o preço original P_0=36{,}00. Assim:
P_f(1-d)=P_0.
Isolando d:
1-d=\frac{P_0}{P_f}\quad\Rightarrow\quad d = 1 - \frac{P_0}{P_f}.
Substituindo P_f = 36{,}00\times 1{,}10313 ou diretamente o fator composto:
d = 1 - \frac{1}{1{,}10313}.

Passo 5

Calcular numericamente d com cuidado (passo a passo).
  • Primeiro calculamos \dfrac{1}{1{,}10313}. Fazendo a divisão com aproximação controlada obtemos
\frac{1}{1{,}10313}\approx 0{,}906511.
(Se preferir pensar em termos dos preços: \dfrac{36{,}00}{39{,}71268}\approx 0{,}906511.)
  • Então
d = 1 - 0{,}906511 = 0{,}093489.
Convertendo para porcentagem:
d \approx 9{,}3489\%.
Arredondando para duas casas decimais, o desconto único necessário é aproximadamente 9{,}35\%.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Aplicando 9{,}3489\% de desconto ao preço final:
39{,}71268\times(1-0{,}093489)\approx 39{,}71268\times 0{,}906511\approx 36{,}00,
ou seja, volta ao preço inicial. Tudo coerente!

Resposta

9{,}35\%

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