Questão 9 (OBMEP). Com uma nova invenção, o custo da produção de um produto foi reduzido em 50 \%. Após uma isenção de impostos, o custo da produção desse mesmo produto foi reduzido em 40 \% e, em seguida, com a diminuição das tarifas de energia, o custo ainda foi reduzido em 10 \%. Qual foi a redução percentual do custo da produção desse produto?

Passo 1

O enunciado diz que o custo da produção sofreu três reduções sucessivas: primeiro uma redução de 50\%, depois mais uma redução de 40\% (aplicada sobre o custo já reduzido) e, por fim, uma redução de 10\% (também aplicada sobre o custo corrente). A pergunta é: qual foi a redução percentual total do custo em relação ao custo original?
Informações dadas:
  • primeira redução: 50\%,
  • segunda redução: 40\%,
  • terceira redução: 10\%.
O que se pede:
  • a redução percentual total acumulada após as três reduções sucessivas.

Passo 2

Conceito importante (muito usado em prova): quando você aplica reduções percentuais sucessivas, cada redução incide sobre o valor atual, não sobre o valor original. Isso significa que as reduções se combinam multiplicativamente, não somam diretamente. A regra prática é: uma redução de p\% equivale a multiplicar o valor por 1 - \dfrac{p}{100}.
Explicando com calma:
  • se você reduz algo em p\%, o que sobra é 100\% - p\% = (1 - p/100) do valor anterior;
  • para várias reduções p_1\%, p_2\%, \dots, o fator que sobra é o produto \prod (1 - p_i/100).
Vou aplicar essa ideia com um número fácil para poder calcular sem calculadora.

Passo 3

Escolho um valor inicial conveniente para facilitar os cálculos: C_0 = 100 (unidades monetárias ou percentual do custo original). Isso é só uma hipótese para calcular percentuais; o resultado final em percentual não depende do valor escolhido.
Após a primeira redução de 50\%, sobra:
C_1 = C_0 \times (1 - 0,50) = 100 \times 0,5 = 50.

Passo 4

Agora aplicamos a segunda redução de 40\% sobre C_1. Uma redução de 40\% deixa 60\%, ou seja, fator 0,6. Assim:
C_2 = C_1 \times 0,6 = 50 \times 0,6 = 30.

Passo 5

Finalmente aplicamos a terceira redução de 10\% sobre C_2. Uma redução de 10\% deixa 90\%, ou seja, fator 0,9. Então:
C_3 = C_2 \times 0,9 = 30 \times 0,9 = 27.

Passo 6

Interpretando o resultado: com C_0=100 nós chegamos a C_3=27. Isso significa que, após as três reduções, o custo final é 27\% do custo original. Logo, a redução percentual total é
100\% - 27\% = 73\%.
Também podemos ver diretamente pelo produto dos fatores:
0,5 \times 0,6 \times 0,9 = 0,27,
ou seja, sobra 27\% e a redução é 1 - 0,27 = 0,73 = 73\%.

Passo 7

Resumo prático que vale para a prova: para reduções sucessivas de p_1\%, p_2\%, \dots, calcule o fator sobrante \prod (1 - p_i/100). O percentual reduzido é 1 menos esse produto, convertido em porcentagem.
Você mandou bem ao pedir passo a passo — esse método é rápido de aplicar em prova e evita o erro comum de somar porcentagens. Vai com calma e confia no processo!

Resposta

73\%

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