Questão 9 (OBMEP). Com uma nova invenção, o custo da produção de um produto foi reduzido em
. Após uma isenção de impostos, o custo da produção desse mesmo produto foi reduzido em
e, em seguida, com a diminuição das tarifas de energia, o custo ainda foi reduzido em
. Qual foi a redução percentual do custo da produção desse produto?
Passo 1
O enunciado diz que o custo da produção sofreu três reduções sucessivas: primeiro uma redução de
, depois mais uma redução de
(aplicada sobre o custo já reduzido) e, por fim, uma redução de
(também aplicada sobre o custo corrente). A pergunta é: qual foi a redução percentual total do custo em relação ao custo original?
Informações dadas:
- primeira redução:
, - segunda redução:
, - terceira redução:
.
O que se pede:
- a redução percentual total acumulada após as três reduções sucessivas.
Passo 2
Conceito importante (muito usado em prova): quando você aplica reduções percentuais sucessivas, cada redução incide sobre o valor atual, não sobre o valor original. Isso significa que as reduções se combinam multiplicativamente, não somam diretamente. A regra prática é: uma redução de
equivale a multiplicar o valor por
.
Explicando com calma:
- se você reduz algo em
, o que sobra é do valor anterior; - para várias reduções
, o fator que sobra é o produto .
Vou aplicar essa ideia com um número fácil para poder calcular sem calculadora.
Passo 3
Escolho um valor inicial conveniente para facilitar os cálculos:
(unidades monetárias ou percentual do custo original). Isso é só uma hipótese para calcular percentuais; o resultado final em percentual não depende do valor escolhido.
Após a primeira redução de
, sobra:
Passo 4
Agora aplicamos a segunda redução de
sobre
. Uma redução de
deixa
, ou seja, fator
. Assim:
Passo 5
Finalmente aplicamos a terceira redução de
sobre
. Uma redução de
deixa
, ou seja, fator
. Então:
Passo 6
Interpretando o resultado: com
nós chegamos a
. Isso significa que, após as três reduções, o custo final é
do custo original. Logo, a redução percentual total é
Também podemos ver diretamente pelo produto dos fatores:
ou seja, sobra
e a redução é
.
Passo 7
Resumo prático que vale para a prova: para reduções sucessivas de
, calcule o fator sobrante
. O percentual reduzido é
menos esse produto, convertido em porcentagem.
Você mandou bem ao pedir passo a passo — esse método é rápido de aplicar em prova e evita o erro comum de somar porcentagens. Vai com calma e confia no processo!