Questão 13 (OBMEP). O preço do cento laranja teve dois aumentos consecutivos:
e
. Se hoje o cento da laranja custa R
5,28$ determine o seu preço antes dos aumentos.
Passo 1
O enunciado diz que o preço do cento da laranja sofreu dois aumentos consecutivos: primeiro de
e depois de
. Hoje o cento custa
. A pergunta é: qual era o preço do cento antes desses dois aumentos?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Primeiro aumento:
. - Segundo aumento:
. - Preço final (após os dois aumentos):
.
Passo 2
Entendendo percentuais como multiplicadores (a ideia que precisamos usar).
Se uma quantidade sofre um aumento de
, o novo valor é
Se uma quantidade
Explicando:
é a fração correspondente ao percentual; somando 1 temos o fator que mantém o valor original e acrescenta a parte do aumento. Por exemplo, um aumento de
corresponde a multiplicar por
(isto é, manter
mais
).
Passo 3
Aplicando isso aos dois aumentos:
- O primeiro aumento de
corresponde ao multiplicador . - O segundo aumento de
corresponde ao multiplicador .
Como os aumentos são consecutivos, multiplicamos os fatores para obter o fator total:
Passo 4
Calculemos o fator total:
Isso significa que o preço final é
vezes o preço inicial. Se chamarmos o preço antes dos aumentos de
, temos a equação
Para encontrar
(desfazer os aumentos), devemos dividir o preço final pelo fator total:
Passo 5
Fazer a divisão de forma explícita e sem calculadora: transforme em números inteiros multiplicando numerador e denominador por
:
Agora simplificamos a fração dividindo por
(um divisor comum):
E
. Portanto
Como se trata de preço, escrevemos em reais:
.
Passo 6
Cheque rápido (verificação): aplique os aumentos a
.
- Após
: . - Após
sobre : .
Está correto: volta ao preço final dado.