Questão 13 (OBMEP). O preço do cento laranja teve dois aumentos consecutivos: 10 \% e 20 \%. Se hoje o cento da laranja custa R \ 5,28$ determine o seu preço antes dos aumentos.

Passo 1

O enunciado diz que o preço do cento da laranja sofreu dois aumentos consecutivos: primeiro de 10\% e depois de 20\%. Hoje o cento custa R\$\,5,28. A pergunta é: qual era o preço do cento antes desses dois aumentos?
Informações relevantes dadas:
  • Primeiro aumento: 10\%.
  • Segundo aumento: 20\%.
  • Preço final (após os dois aumentos): R\$\,5,28.

Passo 2

Entendendo percentuais como multiplicadores (a ideia que precisamos usar).
Se uma quantidade Q sofre um aumento de p\%, o novo valor é
Q_{\text{novo}} = Q \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right).
Explicando: \frac{p}{100} é a fração correspondente ao percentual; somando 1 temos o fator que mantém o valor original e acrescenta a parte do aumento. Por exemplo, um aumento de 10\% corresponde a multiplicar por 1,10 (isto é, manter 100\% mais 10\%).

Passo 3

Aplicando isso aos dois aumentos:
  • O primeiro aumento de 10\% corresponde ao multiplicador \,1,10.
  • O segundo aumento de 20\% corresponde ao multiplicador \,1,20.
    Como os aumentos são consecutivos, multiplicamos os fatores para obter o fator total:
\text{fator total} = 1,10 \times 1,20.

Passo 4

Calculemos o fator total:
1,10 \times 1,20 = 1,32.
Isso significa que o preço final é 1,32 vezes o preço inicial. Se chamarmos o preço antes dos aumentos de x, temos a equação
x \cdot 1,32 = 5,28.
Para encontrar x (desfazer os aumentos), devemos dividir o preço final pelo fator total:
x = \frac{5,28}{1,32}.

Passo 5

Fazer a divisão de forma explícita e sem calculadora: transforme em números inteiros multiplicando numerador e denominador por 100:
\frac{5,28}{1,32} = \frac{528}{132}.
Agora simplificamos a fração dividindo por 12 (um divisor comum):
\frac{528}{132}=\frac{528\div12}{132\div12}=\frac{44}{11}.
E \frac{44}{11}=4. Portanto
x = 4.
Como se trata de preço, escrevemos em reais: R\$\,4,00.

Passo 6

Cheque rápido (verificação): aplique os aumentos a R\$\,4,00.
  • Após 10\%: 4,00 \times 1,10 = 4,40.
  • Após 20\% sobre 4,40: 4,40 \times 1,20 = 5,28.
    Está correto: volta ao preço final dado.

Resposta

R\$\,4,00

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