Questão 10
(c) Converta a equação \rho=4 \cos (\varphi) para coordenadas cartesianas e identifique o sólido geométrico resultante.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: converter a equação \rho=4\cos(\varphi) (em coordenadas esféricas) para coordenadas cartesianas e identificar qual sólido geométrico essa equação descreve.
Informações dadas: a equação em coordenadas esféricas é \rho=4\cos(\varphi). Não há outras informações extras.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que são as coordenadas esféricas e as relações básicas com as coordenadas cartesianas, explicando cada variável com calma.
Definições (convenção usual):
x=\rho\sin(\varphi)\cos(\theta),
y=\rho\sin(\varphi)\sin(\theta),
z=\rho\cos(\varphi),
onde \rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0), \varphi é o ângulo medido a partir do eixo z positivo (ângulo polar) e \theta é o ângulo no plano xy (azimutal).
Também é útil a relação
\rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
que vem da definição de \rho como distância ao origem.

Passo 3

Vamos usar a relação z=\rho\cos(\varphi) para escrever \cos(\varphi) em termos de z e \rho. Dividindo ambos os lados por \rho (lembrando que \rho\neq0 para pontos fora da origem),
\cos(\varphi)=\frac{z}{\rho}.

Passo 4

Substituímos \cos(\varphi)=\dfrac{z}{\rho} na equação dada \rho=4\cos(\varphi). Isso dá
\rho = 4\cdot\frac{z}{\rho}.
Multiplicando ambos os lados por \rho,
\rho^{2}=4z.

Passo 5

Agora substituímos \rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} na equação \rho^{2}=4z:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4z.

Passo 6

Vamos escrever essa equação numa forma mais reconhecível completando o quadrado em z. Subtraindo 4z dos dois lados,
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z=0.
Reescrevendo z^{2}-4z como (z-2)^{2}-4 (explicando: (z-2)^{2}=z^{2}-4z+4), obtemos
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}-4=0.
Somando 4 aos dois lados,
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4.

Passo 7

A equação
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4
é a equação de uma esfera no espaço cartesiano. Explicando: a equação geral de uma esfera de centro (a,b,c) e raio R é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}.
Comparando, vemos que o centro é (0,0,2) e o raio é R=2.
Observação sobre domínio: em coordenadas esféricas usamos \rho\ge0, e como \rho=4\cos(\varphi) isso exige \cos(\varphi)\ge0, isto é, z\ge0. A esfera encontrada tem centro em z=2 e raio 2, portanto varia em z entre 0 e 4 — isto é, a esfera inteira está em z\ge0 (toca o plano z=0 apenas na origem). Logo a equação corresponde exatamente àquela esfera completa.

Resposta

x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4
Esfera de centro (0,0,2) e raio 2.

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