Questão 10
(c) Converta a equação
para coordenadas cartesianas e identifique o sólido geométrico resultante.
(c) Converta a equação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: converter a equação
(em coordenadas esféricas) para coordenadas cartesianas e identificar qual sólido geométrico essa equação descreve.
Informações dadas: a equação em coordenadas esféricas é . Não há outras informações extras.
Informações dadas: a equação em coordenadas esféricas é
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que são as coordenadas esféricas e as relações básicas com as coordenadas cartesianas, explicando cada variável com calma.
Definições (convenção usual):
Definições (convenção usual):
onde
é a distância do ponto à origem (sempre
),
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo (ângulo polar) e
é o ângulo no plano
(azimutal).
Também é útil a relação
Também é útil a relação
que vem da definição de
como distância ao origem.
Passo 3
Vamos usar a relação
para escrever
em termos de
e
. Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
para pontos fora da origem),
Passo 4
Substituímos
na equação dada
. Isso dá
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 5
Agora substituímos
na equação
:
Passo 6
Vamos escrever essa equação numa forma mais reconhecível completando o quadrado em
. Subtraindo
dos dois lados,
Reescrevendo
como
(explicando:
), obtemos
Somando
aos dois lados,
Passo 7
A equação
é a equação de uma esfera no espaço cartesiano. Explicando: a equação geral de uma esfera de centro
e raio
é
Comparando, vemos que o centro é
e o raio é
.
Observação sobre domínio: em coordenadas esféricas usamos
, e como
isso exige
, isto é,
. A esfera encontrada tem centro em
e raio
, portanto varia em
entre
e
— isto é, a esfera inteira está em
(toca o plano
apenas na origem). Logo a equação corresponde exatamente àquela esfera completa.
Resposta
Esfera de centro
e raio
.