Questão 9
(d) Determine a equação em coordenadas cilíndricas da superfície de revolução gerada ao girar a curva
em torno do eixo
.
(d) Determine a equação em coordenadas cilíndricas da superfície de revolução gerada ao girar a curva
Passo 1
O enunciado pede: "determine a equação em coordenadas cilíndricas da superfície de revolução obtida ao girar a curva
em torno do eixo
".
Informações dadas: a curva original é composta pelos pontos tais que
. O eixo de rotação é o eixo
. A pergunta é só uma: escrever a equação dessa superfície em coordenadas cilíndricas.
Informações dadas: a curva original é composta pelos pontos
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas e como elas se relacionam com coordenadas cartesianas (isso é essencial):
Definição: em coordenadas cilíndricas um ponto é representado por , com as relações para as coordenadas cartesianas:
Definição: em coordenadas cilíndricas um ponto é representado por
Aqui
é a distância radial ao eixo
,
é o ângulo em torno do eixo
, e
é a mesma coordenada vertical. Essas fórmulas significam que qualquer ponto no espaço pode ser descrito por
usando essas relações.
Passo 3
Agora vou descrever geometricamente o que acontece ao girar a curva
(que está no plano
) em torno do eixo
.
Um ponto genérico da curva original tem coordenadas cartesianas . Ao girarmos esse ponto por um ângulo
ao redor do eixo
, obtemos o ponto
Um ponto genérico da curva original tem coordenadas cartesianas
Esse é o parâmetro da circunferência gerada pela rotação do ponto
.
Passo 4
Vamos passar essa descrição para coordenadas cilíndricas. Para o ponto rotacionado acima, a coordenada radial
é
A coordenada angular
é
(ou difere de
por um múltiplo de
), e a coordenada vertical é
. Portanto, os pontos da superfície em coordenadas cilíndricas satisfazem
Passo 5
Para eliminar o parâmetro
e obter uma relação direta entre
e
, observe que
implica
. Como
, substituímos
por
e obtemos
Essa é a equação da superfície em coordenadas cilíndricas. Note que não há dependência em
, o que faz sentido: a superfície é obtida por rotação e é simétrica em torno do eixo
. Também fica claro que
e
, mas a equação já encapsula isso.