Questão 9
(d) Determine a equação em coordenadas cilíndricas da superfície de revolução gerada ao girar a curva z=x^{2} em torno do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede: "determine a equação em coordenadas cilíndricas da superfície de revolução obtida ao girar a curva z=x^{2} em torno do eixo z".
Informações dadas: a curva original é composta pelos pontos (x,0,z) tais que z=x^{2}. O eixo de rotação é o eixo z. A pergunta é só uma: escrever a equação dessa superfície em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas e como elas se relacionam com coordenadas cartesianas (isso é essencial):
Definição: em coordenadas cilíndricas um ponto é representado por (r,\theta,z), com as relações para as coordenadas cartesianas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui r\ge 0 é a distância radial ao eixo z, \theta é o ângulo em torno do eixo z, e z é a mesma coordenada vertical. Essas fórmulas significam que qualquer ponto no espaço pode ser descrito por r,\theta,z usando essas relações.

Passo 3

Agora vou descrever geometricamente o que acontece ao girar a curva \;z=x^{2}\; (que está no plano y=0) em torno do eixo z.
Um ponto genérico da curva original tem coordenadas cartesianas (x,0,x^{2}). Ao girarmos esse ponto por um ângulo \varphi ao redor do eixo z, obtemos o ponto
(x\cos\varphi,\;x\sin\varphi,\;x^{2}).
Esse é o parâmetro da circunferência gerada pela rotação do ponto (x,0,x^{2}).

Passo 4

Vamos passar essa descrição para coordenadas cilíndricas. Para o ponto rotacionado acima, a coordenada radial r é
r=\sqrt{(x\cos\varphi)^{2}+(x\sin\varphi)^{2}}=\sqrt{x^{2}(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)}=\sqrt{x^{2}}=|x|.
A coordenada angular \theta é \theta=\varphi (ou difere de \varphi por um múltiplo de 2\pi), e a coordenada vertical é z=x^{2}. Portanto, os pontos da superfície em coordenadas cilíndricas satisfazem
r=|x|\quad\text{e}\quad z=x^{2}.

Passo 5

Para eliminar o parâmetro x e obter uma relação direta entre r e z, observe que r=|x| implica r^{2}=x^{2}. Como z=x^{2}, substituímos x^{2} por r^{2} e obtemos
z=r^{2}.
Essa é a equação da superfície em coordenadas cilíndricas. Note que não há dependência em \theta, o que faz sentido: a superfície é obtida por rotação e é simétrica em torno do eixo z. Também fica claro que z\ge 0 e r\ge 0, mas a equação já encapsula isso.

Resposta

z=r^{2}

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