Questão 10
(a) Converta o ponto
de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.
(a) Converta o ponto
Passo 1
O enunciado pede para converter o ponto
dado em coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.
Informações fornecidas: as coordenadas cartesianas do ponto são ,
e
.
O que se quer: encontrar os valores ,
e
que representam o mesmo ponto em coordenadas esféricas.
Informações fornecidas: as coordenadas cartesianas do ponto são
O que se quer: encontrar os valores
Passo 2
Antes de começar a calcular, vou definir claramente a convenção de coordenadas esféricas que vou usar — é essencial para que não haja confusão. Eu escolho a convenção usual em muitos cursos de cálculo/multivariável:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo azimutal no plano
(medido a partir do eixo
positivo, no sentido anti-horário), e
é o ângulo polar medido a partir do eixo
positivo (ou seja, o ângulo entre o vetor posição e o eixo
). As fórmulas de conversão cartesianas → esféricas nessa convenção são:
com
,
e
.
Também as fórmulas inversas (para obter a partir de
) que vou usar são:
Também as fórmulas inversas (para obter
Vou usar estas fórmulas porque são diretas e fáceis de aplicar numa prova sem calculadora quando os números simplificam bem (como neste caso).
Passo 3
Calcular
usando
. Substituindo
,
,
:
Portanto,
Passo 4
Calcular
usando
. Aqui
e
, então o ponto projetado no plano
é
, que está exatamente na bissetriz do primeiro quadrante. O ângulo cuja tangente é
no primeiro quadrante é
. Assim,
Obs.:
garante o quadrante correto; como
e
, ficamos com
no primeiro quadrante.
Passo 5
Calcular
usando
. Substituindo
e
:
Sabemos que
. Portanto
Passo 6
Fazer uma verificação rápida: usando as fórmulas diretas com os valores encontrados
,
,
, checo se recupero
.
Calcule e
:
Calcule
Agora
Está tudo consistente com o ponto original
.
Passo 7
Comentário final curto: os valores de
e
obtidos estão dentro dos intervalos padrão (
e
), então a representação é única nesta convenção. Atenção: outras convenções (por exemplo, trocar os papéis de
e
) existem, então sempre declare a convenção em prova; aqui usei a convenção com
, etc.