Questão 10
(a) Converta o ponto Q(1,1, \sqrt{2}) de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto Q(1,1,\sqrt{2}) dado em coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.
Informações fornecidas: as coordenadas cartesianas do ponto são x=1, y=1 e z=\sqrt{2}.
O que se quer: encontrar os valores \rho, \theta e \varphi que representam o mesmo ponto em coordenadas esféricas.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vou definir claramente a convenção de coordenadas esféricas que vou usar — é essencial para que não haja confusão. Eu escolho a convenção usual em muitos cursos de cálculo/multivariável: \rho é a distância do ponto à origem, \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário), e \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ou seja, o ângulo entre o vetor posição e o eixo z). As fórmulas de conversão cartesianas → esféricas nessa convenção são:
x = \rho \sin\varphi \cos\theta,
y = \rho \sin\varphi \sin\theta,
z = \rho \cos\varphi,
com \rho\ge 0, 0\le \theta<2\pi e 0\le \varphi\le\pi.
Também as fórmulas inversas (para obter \rho,\theta,\varphi a partir de x,y,z) que vou usar são:
\rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\theta = \operatorname{atan2}(y,x) \quad\text{(ou seja, o ângulo no plano \(xy\))},â
\varphi = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right).
Vou usar estas fórmulas porque são diretas e fáceis de aplicar numa prova sem calculadora quando os números simplificam bem (como neste caso).

Passo 3

Calcular \rho usando \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Substituindo x=1, y=1, z=\sqrt{2}:
\rho = \sqrt{1^{2}+1^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{1+1+2} = \sqrt{4}.
Portanto,
\rho = 2.

Passo 4

Calcular \theta usando \theta=\operatorname{atan2}(y,x). Aqui x=1 e y=1, então o ponto projetado no plano xy é (1,1), que está exatamente na bissetriz do primeiro quadrante. O ângulo cuja tangente é 1 no primeiro quadrante é \pi/4. Assim,
\theta = \frac{\pi}{4}.
Obs.: \operatorname{atan2} garante o quadrante correto; como x>0 e y>0, ficamos com \theta no primeiro quadrante.

Passo 5

Calcular \varphi usando \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right). Substituindo z=\sqrt{2} e \rho=2:
\frac{z}{\rho} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Sabemos que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
\varphi = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}.

Passo 6

Fazer uma verificação rápida: usando as fórmulas diretas com os valores encontrados \rho=2, \theta=\dfrac{\pi}{4}, \varphi=\dfrac{\pi}{4}, checo se recupero x,y,z.
Calcule \sin\varphi e \cos\varphi:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora
x = \rho \sin\varphi \cos\theta = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1,
y = \rho \sin\varphi \sin\theta = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 1,
z = \rho \cos\varphi = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
Está tudo consistente com o ponto original Q(1,1,\sqrt{2}).

Passo 7

Comentário final curto: os valores de \theta e \varphi obtidos estão dentro dos intervalos padrão ( 0\le\theta<2\pi e 0\le\varphi\le\pi), então a representação é única nesta convenção. Atenção: outras convenções (por exemplo, trocar os papéis de \theta e \varphi) existem, então sempre declare a convenção em prova; aqui usei a convenção com x=\rho\sin\varphi\cos\theta, etc.

Resposta

(2,\;\dfrac{\pi}{4},\;\dfrac{\pi}{4})

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