Questão 10. Em cada caso, dados
e
, encontre os polinômios
tais
onde ou
ou
.
e
Passo 1
O enunciado pede: dado
e
em
, encontrar polinômios
e
tais que
com
ou
. As informações dadas são:
Lista de dados relevantes extraídos do enunciado:
A missão é fazer a divisão de polinômios em
e encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro reescrevo
e
com coeficientes em
(faço as reduções módulo
):
Portanto:
Explicando (didaticamente): em
somas e produtos são feitos módulo
. O algoritmo da divisão de polinômios funciona como na divisão usual: a cada passo tomamos o quociente entre os termos dominantes (maiores graus) e subtraímos esse múltiplo de
de
, repetindo até obter resto de grau menor que
. Como
é corpo, todo coeficiente não nulo tem inverso (no nosso caso o coeficiente líder de
é
, cujo inverso é
), então a divisão é direta.
Passo 3
Começo a divisão. Grau de
é
e de
é
. O primeiro termo do quociente será
. Então tomo
Multiplico
por
:
Agora subtraio este polinômio de
(lembre que subtrair em
é somar o oposto módulo
):
Faço coeficiente a coeficiente (tudo em
):
- Para
: - Para
: - Para
: porque . - Para
: porque . - Para
: - Para constante:
Logo o resto parcial é
Passo 4
Agora
, que ainda é
, então continuo. O próximo termo do quociente é
. Assim adiciono
ao quociente:
Multiplico
por
:
Subtraio isso de
:
Faço as subtrações por termo:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para constante:
Portanto o resto final é
Passo 5
Verifico as condições finais:
, então a divisão terminou corretamente. O quociente obtido foi
e o resto
Se quiser conferir rápido, pode calcular
em
e verificar que volta a
.