Questão 10. Em cada caso, dados f e g \in K[x], encontre os polinômios r, q tais f=q g+r onde ou r=0 ou \partial r<\partial g.
f=x^{5}-x^{3}+\overline{3} x-\overline{5}, g=x^{3}+x-\overline{1} e K=\mathbb{Z}_{3}

Passo 1

O enunciado pede: dado f e g em K[x], encontrar polinômios q e r tais que f=qg+r com r=0 ou \partial r<\partial g. As informações dadas são:
f = x^{5}-x^{3}+\overline{3}\,x-\overline{5},\qquad g = x^{3}+x-\overline{1},\qquad K=\mathbb{Z}_{3}.
Lista de dados relevantes extraídos do enunciado:
\overline{3}=\overline{0}\text{ em }\mathbb{Z}_{3},\qquad \overline{5}=\overline{2}\text{ em }\mathbb{Z}_{3},\qquad \overline{1}=\overline{1}.
A missão é fazer a divisão de polinômios em \mathbb{Z}_{3}[x] e encontrar q e r.

Passo 2

Primeiro reescrevo f e g com coeficientes em \mathbb{Z}_{3} (faço as reduções módulo 3):
\overline{3}=\overline{0}\Rightarrow \overline{3}\,x=\overline{0}\,x,
\overline{5}=\overline{2}\Rightarrow -\overline{5}=-\overline{2}=\overline{1},
-\overline{1}=\overline{2}.
Portanto:
f = x^{5} + \overline{2}\,x^{3} + \overline{1},
g = x^{3} + x + \overline{2}.
Explicando (didaticamente): em \mathbb{Z}_{3} somas e produtos são feitos módulo 3. O algoritmo da divisão de polinômios funciona como na divisão usual: a cada passo tomamos o quociente entre os termos dominantes (maiores graus) e subtraímos esse múltiplo de g de f, repetindo até obter resto de grau menor que \partial g. Como \mathbb{Z}_{3} é corpo, todo coeficiente não nulo tem inverso (no nosso caso o coeficiente líder de g é \overline{1}, cujo inverso é \overline{1}), então a divisão é direta.

Passo 3

Começo a divisão. Grau de f é \partial f=5 e de g é \partial g=3. O primeiro termo do quociente será \,x^{5-3}=x^{2}. Então tomo
q_{1}=x^{2}.
Multiplico g por q_{1}:
q_{1}g = x^{2}\cdot (x^{3}+x+\overline{2}) = x^{5} + x^{3} + \overline{2}\,x^{2}.
Agora subtraio este polinômio de f (lembre que subtrair em \mathbb{Z}_{3} é somar o oposto módulo 3):
f - q_{1}g = \big(x^{5} + \overline{2}x^{3} + \overline{1}\big) - \big(x^{5} + x^{3} + \overline{2}x^{2}\big).
Faço coeficiente a coeficiente (tudo em \mathbb{Z}_{3}):
  • Para x^{5}: \,1-1=\overline{0}.
  • Para x^{4}: 0-0=\overline{0}.
  • Para x^{3}: \,\overline{2}-\overline{1}=\overline{1} porque 2-1=1.
  • Para x^{2}: 0-\overline{2}=-\overline{2}=\overline{1} porque -2\equiv1\pmod{3}.
  • Para x: 0-0=\overline{0}.
  • Para constante: \overline{1}-0=\overline{1}.
Logo o resto parcial é
R_{1} = x^{3} + x^{2} + \overline{1}.

Passo 4

Agora \partial R_{1}=3, que ainda é \ge \partial g, então continuo. O próximo termo do quociente é \,x^{3-3}=\overline{1}. Assim adiciono \overline{1} ao quociente:
q = x^{2} + \overline{1}.
Multiplico g por \overline{1}:
\overline{1}\cdot g = x^{3} + x + \overline{2}.
Subtraio isso de R_{1}:
R_{1} - \overline{1}\,g = (x^{3} + x^{2} + \overline{1}) - (x^{3} + x + \overline{2}).
Faço as subtrações por termo:
  • Para x^{3}: \,1-1=\overline{0}.
  • Para x^{2}: \,1-0=\overline{1}.
  • Para x: 0-1=-1=\overline{2}.
  • Para constante: \,1-2=-1=\overline{2}.
Portanto o resto final é
r = x^{2} + \overline{2}\,x + \overline{2}.

Passo 5

Verifico as condições finais: \partial r = 2 < \partial g = 3, então a divisão terminou corretamente. O quociente obtido foi
q = x^{2} + \overline{1},
e o resto
r = x^{2} + \overline{2}\,x + \overline{2}.
Se quiser conferir rápido, pode calcular qg+r em \mathbb{Z}_{3}[x] e verificar que volta a f.

Resposta

q = x^{2} + \overline{1}
r = x^{2} + \overline{2}\,x + \overline{2}

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