Questão 10 - Calcule o ângulo entre a diagonal de um cubo e a diagonal de uma de suas arestas.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a diagonal do cubo (diagonal espacial) e a diagonal de uma de suas faces. O conteúdo envolvido é geometria no espaço e produto escalar para determinar o ângulo entre vetores.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o cubo tem vértice em O=(0,0,0) e arestas de comprimento a ao longo dos eixos x, y e z. Assim a diagonal de uma face (por exemplo, a face xy) é representada pelo vetor
\vec f = (a,a,0)
e a diagonal espacial do cubo pelo vetor
\vec d = (a,a,a).

Passo 3

Calculamos o produto escalar entre \vec f e \vec d:
\vec f \cdot \vec d = a\cdot a + a\cdot a + 0\cdot a = 2a^2.

Passo 4

Calculamos as normas dos vetores:
\|\vec f\| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = a\sqrt{2}, \qquad \|\vec d\| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}.

Passo 5

Pelo produto escalar, o cosseno do ângulo \theta entre \vec f e \vec d é
\cos\theta = \frac{\vec f \cdot \vec d}{\|\vec f\|\,\|\vec d\|} = \frac{2a^2}{(a\sqrt2)(a\sqrt3)} = \frac{2}{\sqrt6} = \frac{\sqrt6}{3}.
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\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt6}{3}\bigr).

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt6}{3}\bigr) (aprox. 35{,}26^\circ).

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