A função integranda é \displaystyle \frac{1}{(4x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
O domínio D é o conjunto de pontos com x entre 1 e 2 e y entre -x/2 e x/2.
A dica indica usar coordenadas elípticas (ou seja, uma mudança linear que transforma 4x^{2}+y^{2} numa soma de quadrados).
Passo 2
Motivação da mudança de variável (coordenadas elípticas simples).
Queremos transformar a expressão 4x^{2}+y^{2} numa forma radial simples como u^{2}+v^{2}, porque isso facilita o uso de coordenadas polares no plano transformado.
Faço a mudança linear
u=2x,\qquad v=y.
Então
4x^{2}+y^{2}=u^{2}+v^{2}.
Passo 3
Cálculo do jacobiano da mudança (x,y)\mapsto(u,v).
A transformação é (u,v)=(2x,y). A matriz jacobiana \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} é
\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
cujo determinante é 2. Isso dá \,du\,dv=2\,dx\,dy.
Invertendo, temos
dx\,dy=\tfrac{1}{2}\,du\,dv.]
Passo 4
Transformação da integranda e do elemento de área.
Como \alpha=\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr), num triângulo retângulo com cateto oposto 1 e adjacente 4 a hipotenusa vale \sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}. Assim