Encontre a solução do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0, \quad y(0)=-1, \quad y^{\prime}(0)=1 .

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial com condições iniciais. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}-3y^{\prime}-4y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=-1 e y^{\prime}(0)=1.
  • A incógnita é a função y(x) definida para x real.
    Nada mais é pedido além de encontrar a função y(x) que satisfaça a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática curta): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo essa forma na equação obtém-se o polinômio característico em r. Esse polinômio determina os expoentes das exponenciais que formam a solução geral. Agora aplico isso ao problema.
Formo a equação característica substituindo y=e^{r x} em \,y^{\prime\prime}-3y^{\prime}-4y=0:
r^{2}-3r-4=0.
Este é um polinômio quadrático cuja solução dá os valores de r que geram soluções exponenciais.

Passo 3

Resolução do polinômio característico (passo a passo, sem pular etapas):
Procuro dois números que multiplicados deem -4 e somados dêem -3. Esses números são -4 e 1. Assim fatoramos:
r^{2}-3r-4=(r-4)(r+1)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=4,\qquad r_{2}=-1.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação rápida: e^{4x} e e^{-x} são soluções independentes, e a linearidade da equação permite somá-las com coeficientes constantes.

Passo 4

Calcular a derivada necessária para usar a condição y^{\prime}(0)=1. Regra usada: a derivada de e^{ax} é a e^{ax}. Aplicando termo a termo:
y'(x)=4C_{1}e^{4x}-C_{2}e^{-x}.
Aqui cada coeficiente r multiplica sua respectiva constante por causa da regra da derivada.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear em [C_{1}) e C_{2}.
Usando y(0)=-1: substituir x=0 em y(x):
y(0)=C_{1}+C_{2}=-1.
Usando y'(0)=1: substituir x=0 em y'(x):
y'(0)=4C_{1}-C_{2}=1.
Agora resolvo o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=-1,\\[4pt] 4C_{1}-C_{2}=1. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar C_{2}\]: \[(C_{1}+C_{2})+(4C_{1}-C_{2}) = -1+1 \quad\Rightarrow\quad 5C_{1}=0.\] Logo \[C_{1}=0.\] Substituindo em \(C_{1}+C_{2}=-1:
0+C_{2}=-1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-1.]

Passo 6

Interpretação final dos constantes e conclusão preparatória: obtiveram-se C_{1}=0 e C_{2}=-1. Esses valores, colocados na forma geral y(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-x}, produzem a solução particular que satisfaz tanto a equação diferencial quanto as condições iniciais.

Resposta

y(x)=-e^{-x}

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