Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial com condições iniciais. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e . - A incógnita é a função
definida para real.
Nada mais é pedido além de encontrar a funçãoque satisfaça a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática curta): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. Substituindo essa forma na equação obtém-se o polinômio característico em
. Esse polinômio determina os expoentes das exponenciais que formam a solução geral. Agora aplico isso ao problema.
Formo a equação característica substituindo
em
:
Este é um polinômio quadrático cuja solução dá os valores de
que geram soluções exponenciais.
Passo 3
Resolução do polinômio característico (passo a passo, sem pular etapas):
Procuro dois números que multiplicados deem e somados dêem
. Esses números são
e
. Assim fatoramos:
Procuro dois números que multiplicados deem
Portanto as raízes são
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação rápida:
e
são soluções independentes, e a linearidade da equação permite somá-las com coeficientes constantes.
Passo 4
Calcular a derivada necessária para usar a condição
. Regra usada: a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Aqui cada coeficiente
multiplica sua respectiva constante por causa da regra da derivada.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear em [C_{1}) e
.
Usando
: substituir
em
:
Usando
: substituir
em
:
Agora resolvo o sistema
Somando as duas equações para eliminar
:
Passo 6
Interpretação final dos constantes e conclusão preparatória: obtiveram-se
e
. Esses valores, colocados na forma geral
, produzem a solução particular que satisfaz tanto a equação diferencial quanto as condições iniciais.