Questão 9:

Calcule
I=5 \iint_{D} \cos \left[(x+2 y)^{2}+(3 y-x)^{2}\right] d x d y
onde
D=\left\{(x, y) \left\lvert\,(x+2 y)^{2}+(3 y-x)^{2} \leq \frac{9 \pi}{2}\right.\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=5 \iint_{D} \cos\left[(x+2y)^{2}+(3y-x)^{2}\right]dx\,dy
onde a região D é
D=\left\{(x,y)\mid (x+2y)^{2}+(3y-x)^{2}\le \frac{9\pi}{2}\right\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função integranda é \cos\big((x+2y)^{2}+(3y-x)^{2}\big).
  • A região D é o conjunto de pontos cujo valor de (x+2y)^{2}+(3y-x)^{2} fica menor ou igual a \dfrac{9\pi}{2}.
  • Há um fator multiplicativo externo 5 na integral.

Passo 2

Observação importante (motivação para uma mudança de variável): a expressão dentro do cosseno é a soma de dois termos quadráticos lineares em x,y. Isso sugere definir variáveis lineares novas que tornem essa expressão simplesmente u^{2}+v^{2}. Definimos
u=x+2y,\qquad v=3y-x.
Com essa escolha a integranda fica \cos(u^{2}+v^{2}) e a condição da região D vira u^{2}+v^{2}\le \dfrac{9\pi}{2}, ou seja, um disco centrado na origem no plano (u,v).

Passo 3

Escrevendo a transformação em forma matricial: \\ (u,v)^{T}=A\,(x,y)^{T} com
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix},
pois u=1\cdot x+2\cdot y e v=-1\cdot x+3\cdot y. Calculamos o determinante de A:
\det A = 1\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 3+2 = 5.
A relação entre as áreas é du\,dv=|\det A|\,dx\,dy, logo
dx\,dy=\frac{1}{5}\,du\,dv.

Passo 4

Fazendo a mudança de variável na integral original. Substituímos u=x+2y e v=3y-x e trocamos dx\,dy por \dfrac{1}{5}du\,dv. Assim
I=5\iint_{D}\cos\big((x+2y)^{2}+(3y-x)^{2}\big)dx\,dy =5\iint_{D_{uv}}\cos(u^{2}+v^{2})\cdot\frac{1}{5}\,du\,dv,
onde D_{uv}=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le \tfrac{9\pi}{2}\}. O fator 5 externo cancela com o 1/5 do jacobiano, sobrando
I=\iint_{D_{uv}}\cos(u^{2}+v^{2})\,du\,dv.

Passo 5

Agora é natural passar para coordenadas polares no plano (u,v), pois tanto a integranda quanto a região são radiais. Fazemos
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). Em coordenadas polares a área elementar é du\,dv = r\,dr\,d\theta. O disco D_{uv} corresponde a 0\le r\le R e 0\le\theta\le2\pi, onde
R=\sqrt{\frac{9\pi}{2}}.

Passo 6

Reescrevendo a integral em polares:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\cos(r^{2})\,r\,dr\,d\theta.
Explico por que: na expressão \cos(u^{2}+v^{2}) substituímos u^{2}+v^{2}=r^{2}, e du\,dv virou r\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calculamos a integral interna em r. Use a substituição t=r^{2}. Então dt=2r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{dt}{2}. Os limites em t vão de t(0)=0 até t(R)=R^{2}. Assim
\int_{0}^{R}\cos(r^{2})\,r\,dr=\frac{1}{2}\int_{0}^{R^{2}}\cos t\,dt=\frac{1}{2}\big[\sin t\big]_{0}^{R^{2}}=\frac{1}{2}\sin\big(R^{2}\big).

Passo 8

Substituímos R^{2}. Como R=\sqrt{\dfrac{9\pi}{2}}, temos
R^{2}=\frac{9\pi}{2}.
Calculamos \sin\big(R^{2}\big)=\sin\big(\tfrac{9\pi}{2}\big). Note que
\frac{9\pi}{2}=4\pi+\frac{\pi}{2},
e como \sin tem período 2\pi segue
\sin\big(\tfrac{9\pi}{2}\big)=\sin\big(4\pi+\tfrac{\pi}{2}\big)=\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
Portanto a integral em r vale \dfrac{1}{2}.

Passo 9

Agora efetuamos a integral em \theta:
I=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\right)d\theta = \frac{1}{2}\cdot(2\pi)=\pi.

Resposta

\pi

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