A função integranda é \cos\big((x+2y)^{2}+(3y-x)^{2}\big).
A região D é o conjunto de pontos cujo valor de (x+2y)^{2}+(3y-x)^{2} fica menor ou igual a \dfrac{9\pi}{2}.
Há um fator multiplicativo externo 5 na integral.
Passo 2
Observação importante (motivação para uma mudança de variável): a expressão dentro do cosseno é a soma de dois termos quadráticos lineares em x,y. Isso sugere definir variáveis lineares novas que tornem essa expressão simplesmente u^{2}+v^{2}. Definimos
u=x+2y,\qquad v=3y-x.
Com essa escolha a integranda fica \cos(u^{2}+v^{2}) e a condição da região D vira u^{2}+v^{2}\le \dfrac{9\pi}{2}, ou seja, um disco centrado na origem no plano (u,v).
Passo 3
Escrevendo a transformação em forma matricial: \\ (u,v)^{T}=A\,(x,y)^{T} com
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix},
pois u=1\cdot x+2\cdot y e v=-1\cdot x+3\cdot y. Calculamos o determinante de A:
\det A = 1\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 3+2 = 5.
A relação entre as áreas é du\,dv=|\det A|\,dx\,dy, logo
dx\,dy=\frac{1}{5}\,du\,dv.
Passo 4
Fazendo a mudança de variável na integral original. Substituímos u=x+2y e v=3y-x e trocamos dx\,dy por \dfrac{1}{5}du\,dv. Assim
onde D_{uv}=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le \tfrac{9\pi}{2}\}. O fator 5 externo cancela com o 1/5 do jacobiano, sobrando
I=\iint_{D_{uv}}\cos(u^{2}+v^{2})\,du\,dv.
Passo 5
Agora é natural passar para coordenadas polares no plano (u,v), pois tanto a integranda quanto a região são radiais. Fazemos
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). Em coordenadas polares a área elementar é du\,dv = r\,dr\,d\theta. O disco D_{uv} corresponde a 0\le r\le R e 0\le\theta\le2\pi, onde
Explico por que: na expressão \cos(u^{2}+v^{2}) substituímos u^{2}+v^{2}=r^{2}, e du\,dv virou r\,dr\,d\theta.
Passo 7
Calculamos a integral interna em r. Use a substituição t=r^{2}. Então dt=2r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{dt}{2}. Os limites em t vão de t(0)=0 até t(R)=R^{2}. Assim