Questão 10. Calcule os limites a seguir (do tipo infty / infty ):
Sugestão:
  • A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1) / 2.
  • A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1)(2 n+1) / 6.
    lim n infty 1+2+3+cdots+nn^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite do tipo “ infty/infty
limntoinfty1+2+3+cdots+nn^2
O conteúdo aqui é limites de sequências e usaremos a fórmula da soma dos n primeiros naturais.

Passo 2

Sabemos que a soma dos n primeiros números naturais é
1 + 2 + cdots + n = n(n+1)2

Passo 3

Substituímos essa expressão no limite:
limntoinfty1+2+cdots+nn^2 =limntoinftyn(n+1)2n^2

Passo 4

Simplificamos a fração dentro do limite:
n(n+1)2n^2 =n(n+1)2,n^2 =n^2 + n2,n^2 =1 + 1n2

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando ntoinfty:
limntoinfty1 + 1n2 =1 + 02 =12

Resposta

12

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