Questão-10. Considere os seguintes subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3}
\mathrm{U}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \in \mathbb{R}^{3}, \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}=0\right\} e \mathrm{W}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \in \mathbb{R}^{3}, \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0\right\}. Determine
a) O subespaço vetorial U \cap W
b) Um conjunto de geradores para o subespaço vetorial U \cap W

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar o subespaço vetorial U \cap W.
  • (b) Dar um conjunto de geradores para U \cap W.
As informações fornecidas são:
  • U=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y+3z=0\right\}.
  • W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\right\}.
Ou seja, U e W são conjuntos de vetores em \mathbb{R}^3 que satisfazem, respectivamente, as equações lineares homogêneas acima. O objetivo é encontrar todos os vetores (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Estratégia para resolver (explicação didática):
  • O conjunto U\cap W é formado pelos vetores que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Isso é resolver um sistema linear homogêneo de duas equações em três incógnitas.
  • Método prático: usar eliminação para expressar algumas variáveis em função de uma livre (parâmetro). Vou fazer eliminação simples (subtração de equações) para reduzir o sistema e parametrizar a solução.
  • Lembrete rápido: resolver um sistema homogêneo equivale a encontrar uma descrição por parâmetros e normalmente resulta num subespaço gerado por vetores obtidos ao parametrizar.

Passo 3

Escrever o sistema dado pelas equações de U\) e \(W\): \[\begin{cases} x-2y+3z=0,\\[4pt] x+y+z=0. \end{cases}
Vou eliminar (x] subtraindo a segunda equação da primeira:
(x-2y+3z) - (x+y+z)=0-0 \quad\Longrightarrow\quad -3y+2z=0.
Assim obtemos a relação
-3y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad 3y=2z \quad\Longrightarrow\quad y=\dfrac{2}{3}z.]

Passo 4

Agora uso y=\dfrac{2}{3}z na equação x+y+z=0 (mais simples para isolar x):
x + y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -(y+z).
Substituindo y:
x = -\left(\dfrac{2}{3}z + z\right) = -\dfrac{5}{3}z.
Portanto toda solução do sistema tem a forma
(x,y,z) = \left(-\dfrac{5}{3}z,\;\dfrac{2}{3}z,\;z\right).

Passo 5

Para eliminar frações e escrever a solução como múltiplo de um vetor, faço uma parametrização conveniente. Seja t\in\mathbb{R} tal que z=3t. Então
(x,y,z) = \left(-\dfrac{5}{3}\cdot 3t,\;\dfrac{2}{3}\cdot 3t,\;3t\right) = t(-5,2,3).
Assim todas as soluções são múltiplos escalares do vetor (-5,2,3). Logo U\cap W é a reta através da origem gerada por (-5,2,3), ou seja, um subespaço de dimensão 1.

Passo 6

Verificação rápida (para ter confiança): verificar que (-5,2,3) satisfaz as duas equações:
x-2y+3z = -5 - 2\cdot 2 + 3\cdot 3 = -5 -4 +9 =0,
x+y+z = -5 + 2 + 3 =0.
Portanto (-5,2,3) pertence a U e a W, logo gera o U\cap W.

Resposta

U\cap W=\{\,t(-5,2,3)\mid t\in\mathbb{R}\,\}
Um conjunto de geradores para U\cap W é \{(-5,2,3)\}

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