Questão-10. Considere os seguintes subespaços vetoriais de
e
. Determine
a) O subespaço vetorial
b) Um conjunto de geradores para o subespaço vetorial
a) O subespaço vetorial
b) Um conjunto de geradores para o subespaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o subespaço vetorial
. - (b) Dar um conjunto de geradores para
.
As informações fornecidas são:
-
. -
.
Ou seja,
e
são conjuntos de vetores em
que satisfazem, respectivamente, as equações lineares homogêneas acima. O objetivo é encontrar todos os vetores
que satisfazem simultaneamente as duas equações.
Passo 2
Estratégia para resolver (explicação didática):
- O conjunto
é formado pelos vetores que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Isso é resolver um sistema linear homogêneo de duas equações em três incógnitas. - Método prático: usar eliminação para expressar algumas variáveis em função de uma livre (parâmetro). Vou fazer eliminação simples (subtração de equações) para reduzir o sistema e parametrizar a solução.
- Lembrete rápido: resolver um sistema homogêneo equivale a encontrar uma descrição por parâmetros e normalmente resulta num subespaço gerado por vetores obtidos ao parametrizar.
Passo 3
Escrever o sistema dado pelas equações de
Vou eliminar (x] subtraindo a segunda equação da primeira:
Assim obtemos a relação
]
Assim obtemos a relação
Passo 4
Agora uso
na equação
(mais simples para isolar
):
Substituindo
:
Portanto toda solução do sistema tem a forma
Passo 5
Para eliminar frações e escrever a solução como múltiplo de um vetor, faço uma parametrização conveniente. Seja
tal que
. Então
Assim todas as soluções são múltiplos escalares do vetor
. Logo
é a reta através da origem gerada por
, ou seja, um subespaço de dimensão
.
Passo 6
Verificação rápida (para ter confiança): verificar que
satisfaz as duas equações:
Portanto
pertence a
e a
, logo gera o
.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é