Questão 3.10 Considere um sistema de duas massas
e
conectadas por uma mola de constante elástica
e comprimento natural
. As massas estão livres para mover-se sem atrito em uma dimensão. Utilize o formalismo lagrangiano para encontrar as equações de movimento do sistema.
Passo 1
O enunciado pede para usar o formalismo lagrangiano para encontrar as equações de movimento de um sistema com duas massas
e
conectadas por uma mola de constante elástica
e comprimento natural
. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
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- As massas movem-se livremente, sem atrito, numa dimensão (uma reta).
\n - A mola liga as duas massas e tem energia elástica quando sua extensão difere de
.
\n - Queremos as equações de movimento (equações diferenciais que determinam
e , as posições das massas ao longo do tempo).
\n
Observação: não precisamos assumir nada sobre condições iniciais; só derivar as equações gerais via Lagrangiano.
Passo 2
Escolha das coordenadas generalizadas — passo essencial no formalismo lagrangiano.
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Como o movimento é unidimensional, a escolha natural é usar as posições das massas como coordenadas generalizadas:
\n
\n
Como o movimento é unidimensional, a escolha natural é usar as posições das massas como coordenadas generalizadas:
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-
: posição da massa ao longo da reta;
\n -
: posição da massa .
\n
Essas duas variáveis descrevem completamente a configuração do sistema. A distância instantânea entre as massas é, e a deformação da mola (em relação ao comprimento natural) é .
Passo 3
Energia cinética
. Expliquei passo a passo: para uma partícula com massa
movendo-se unidimensionalmente com velocidade
, a energia cinética é
. Assim, somando as duas massas:
Aqui
é a derivada temporal de
, ou seja a velocidade da massa
.
Passo 4
Energia potencial
armazenada na mola. A energia elástica de uma mola alongada/comprimida de uma quantidade
é
. No nosso caso a extensão em relação ao natural é
. Portanto:
Nota didática: o potencial depende apenas da diferença
, como esperado para uma mola entre as massas.
Passo 5
Lagrangiano
. No formalismo lagrangiano definimos
Substituindo
e
que obtivemos:
Agora aplicamos as equações de Euler–Lagrange para cada coordenada generalizada
e
.
Passo 6
Equação de Euler–Lagrange para
. A equação geral é
Calculemos os termos passo a passo:
\n
\n
- Primeiro
Então
\n - Agora
Derivando:
(Expliquei: a derivada de
em relação a
é
, o
cancela o 2 e fica
, e o sinal menos do
dá o resultado acima.)
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Agora aplique Euler–Lagrange:
\n
Agora aplique Euler–Lagrange:
Isolando:
Passo 7
Equação de Euler–Lagrange para
. Mesma rotina:
Calculemos:
\n
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-
, logo
\n -
\n
Aplicando Euler–Lagrange:
ou seja
Isolando:
Passo 8
Interpretação física rápida e transformação útil (ensinei um truque prático para provas).
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\n
- As duas equações representam forças internas: a mola puxa uma massa para a outra com força
(positiva quando a mola está esticada além de ). A força sobre é para a direita (positiva) e sobre é para a esquerda (negativa), como visto.
\n - Somando as duas equações obtemos a equação do centro de massa:
onde
é a coordenada do centro de massa. Isso mostra que o centro de massa se move com velocidade constante (nenhuma força externa).
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- Subtraindo as equações ou definindo a coordenada relativa
temos
. Usando as EDOs obtidas:
Isso pode ser escriturado com a massa reduzida
como
que é a equação de um oscilador harmônico com pulsação natural
.
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Esse passo mostra como o problema se separa: movimento do centro de massa livre + oscilação relativa graças à mola.
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Esse passo mostra como o problema se separa: movimento do centro de massa livre + oscilação relativa graças à mola.