Questão 3.10 Considere um sistema de duas massas m_{1} e m_{2} conectadas por uma mola de constante elástica k e comprimento natural l_{0}. As massas estão livres para mover-se sem atrito em uma dimensão. Utilize o formalismo lagrangiano para encontrar as equações de movimento do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para usar o formalismo lagrangiano para encontrar as equações de movimento de um sistema com duas massas m_{1} e m_{2} conectadas por uma mola de constante elástica k e comprimento natural l_{0}. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
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  • As massas movem-se livremente, sem atrito, numa dimensão (uma reta).
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  • A mola liga as duas massas e tem energia elástica quando sua extensão difere de l_{0}.
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  • Queremos as equações de movimento (equações diferenciais que determinam \,x_{1}(t) e \,x_{2}(t), as posições das massas ao longo do tempo).
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    Observação: não precisamos assumir nada sobre condições iniciais; só derivar as equações gerais via Lagrangiano.

Passo 2

Escolha das coordenadas generalizadas — passo essencial no formalismo lagrangiano.
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Como o movimento é unidimensional, a escolha natural é usar as posições das massas como coordenadas generalizadas:
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  • x_{1}(t): posição da massa m_{1} ao longo da reta;
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  • x_{2}(t): posição da massa m_{2}.
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    Essas duas variáveis descrevem completamente a configuração do sistema. A distância instantânea entre as massas é \,x_{2}-x_{1}, e a deformação da mola (em relação ao comprimento natural) é \,x_{2}-x_{1}-l_{0}.

Passo 3

Energia cinética T. Expliquei passo a passo: para uma partícula com massa m movendo-se unidimensionalmente com velocidade \dot x, a energia cinética é \tfrac{1}{2}m\dot x^{2}. Assim, somando as duas massas:
T = \tfrac{1}{2}m_{1}\dot x_{1}^{2} + \tfrac{1}{2}m_{2}\dot x_{2}^{2}.
Aqui \dot x_{i} é a derivada temporal de x_{i}, ou seja a velocidade da massa i.

Passo 4

Energia potencial V armazenada na mola. A energia elástica de uma mola alongada/comprimida de uma quantidade \Delta\ell é \tfrac{1}{2}k(\Delta\ell)^{2}. No nosso caso a extensão em relação ao natural é \Delta\ell = x_{2}-x_{1}-l_{0}. Portanto:
V = \tfrac{1}{2}k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr)^{2}.
Nota didática: o potencial depende apenas da diferença x_{2}-x_{1}, como esperado para uma mola entre as massas.

Passo 5

Lagrangiano L. No formalismo lagrangiano definimos
L = T - V.
Substituindo T e V que obtivemos:
L = \tfrac{1}{2}m_{1}\dot x_{1}^{2} + \tfrac{1}{2}m_{2}\dot x_{2}^{2} - \tfrac{1}{2}k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr)^{2}.
Agora aplicamos as equações de Euler–Lagrange para cada coordenada generalizada x_{1} e x_{2}.

Passo 6

Equação de Euler–Lagrange para \,x_{1}. A equação geral é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x_{1}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_{1}} = 0.
Calculemos os termos passo a passo:
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  • Primeiro \displaystyle \frac{\partial L}{\partial \dot x_{1}} = m_{1}\dot x_{1}. Então \displaystyle \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x_{1}}\right)=m_{1}\ddot x_{1}.
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  • Agora \displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_{1}} = -\frac{\partial}{\partial x_{1}}\!\left[\tfrac{1}{2}k(x_{2}-x_{1}-l_{0})^{2}\right]. Derivando:
\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = -\bigl(-k(x_{2}-x_{1}-l_{0})\bigr) = k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr).
(Expliquei: a derivada de (x_{2}-x_{1}-l_{0})^{2} em relação a x_{1} é 2(x_{2}-x_{1}-l_{0})(-1), o \tfrac{1}{2} cancela o 2 e fica - (x_{2}-x_{1}-l_{0}), e o sinal menos do L=T-V dá o resultado acima.)
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Agora aplique Euler–Lagrange:
m_{1}\ddot x_{1} - k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr) = 0.
Isolando:
m_{1}\ddot x_{1} = k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr).

Passo 7

Equação de Euler–Lagrange para \,x_{2}. Mesma rotina:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x_{2}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_{2}} = 0.
Calculemos:
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  • \displaystyle \frac{\partial L}{\partial \dot x_{2}} = m_{2}\dot x_{2}, logo \displaystyle \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x_{2}}\right)=m_{2}\ddot x_{2}.
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  • \displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_{2}} = -\frac{\partial}{\partial x_{2}}\!\left[\tfrac{1}{2}k(x_{2}-x_{1}-l_{0})^{2}\right] = -k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr).
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    Aplicando Euler–Lagrange:
m_{2}\ddot x_{2} - \bigl(-k(x_{2}-x_{1}-l_{0})\bigr) = 0,
ou seja
m_{2}\ddot x_{2} + k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr) = 0.
Isolando:
m_{2}\ddot x_{2} = -k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr).

Passo 8

Interpretação física rápida e transformação útil (ensinei um truque prático para provas).
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  • As duas equações representam forças internas: a mola puxa uma massa para a outra com força k(x_{2}-x_{1}-l_{0}) (positiva quando a mola está esticada além de l_{0}). A força sobre m_{1} é para a direita (positiva) e sobre m_{2} é para a esquerda (negativa), como visto.
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  • Somando as duas equações obtemos a equação do centro de massa:
m_{1}\ddot x_{1} + m_{2}\ddot x_{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad (m_{1}+m_{2})\ddot X = 0,
onde \displaystyle X=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}} é a coordenada do centro de massa. Isso mostra que o centro de massa se move com velocidade constante (nenhuma força externa).
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  • Subtraindo as equações ou definindo a coordenada relativa
q = x_{2}-x_{1}-l_{0},
temos \ddot q = \ddot x_{2}-\ddot x_{1}. Usando as EDOs obtidas:
\ddot q = -\frac{k}{m_{2}}q - \frac{k}{m_{1}}q = -\frac{k(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}q.
Isso pode ser escriturado com a massa reduzida \displaystyle \mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} como
\mu\ddot q + k q = 0,
que é a equação de um oscilador harmônico com pulsação natural \displaystyle \omega^{2}=\frac{k}{\mu}=\frac{k(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}.
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Esse passo mostra como o problema se separa: movimento do centro de massa livre + oscilação relativa graças à mola.

Resposta

m_{1}\ddot x_{1} = k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr)
m_{2}\ddot x_{2} = -k\bigl(x_{2}-x_{1}-l_{0}\bigr)

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