Questão 3.8 Considere uma partícula de massa
movendo-se em uma superfície lisa parabólica descrita por
no campo gravitacional uniforme. Determine as equações de movimento usando o formalismo de Lagrange.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que a questão pede):
Temos uma partícula de massa que se move sobre uma superfície lisa descrita por
sujeita a um campo gravitacional uniforme (aceleração da gravidade
, vertical para baixo). A superfície impõe a restrição geométrica
. A tarefa é determinar as equações de movimento usando o formalismo de Lagrange (ou seja, obter as equações diferenciais que descrevem
e
).
Informações importantes extraídas do enunciado:
Temos uma partícula de massa
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Massa:
. - Superfície/ restrição:
. - Campo gravitacional uniforme com aceleração
para baixo (potencial gravitacional ). - Superfície lisa: nenhuma força de atrito tangencial.
O objetivo final: escrever as equações de Euler–Lagrange correspondentes às coordenadas generalizadas que descrevem o movimento da partícula.
Passo 2
Escolha de coordenadas generalizadas e representação do ponto material:
Como a superfície impõe em função de
, a partícula tem dois graus de liberdade independentes:
e
. Portanto escolhemos as coordenadas generalizadas
Como a superfície impõe
A posição do ponto material (vetor posição) em coordenadas cartesianas é
Aqui usamos
e
como funções do tempo:
. Vamos agora obter as velocidades para montar energia cinética e potencial.
Passo 3
Velocidade e energia cinética
: cálculo passo a passo das componentes da velocidade.
Derivando em relação ao tempo:
Derivando
O quadrado da velocidade é
Portanto a energia cinética é
(Explicação curta:
. Cada componente da velocidade entra ao quadrado.)
Passo 4
Energia potencial
: explicação e expressão.
No campo gravitacional uniforme com escolha da origem de energia tal que o potencial é , e usando a restrição
, obtemos
No campo gravitacional uniforme com escolha da origem de energia tal que o potencial é
(Explicação: o potencial depende só de
porque
é função de
.)
Passo 5
Construção do Lagrangiano
.
Substituindo e
obtemos
Substituindo
Passo 6
Fórmula de Euler–Lagrange e interpretação das derivadas.
Para cada coordenada generalizada (=
ou
) a equação de movimento vem da condição
Para cada coordenada generalizada
Aqui
é o momento conjugado à velocidade
e a equação acima dá a equação diferencial de segunda ordem para
. Vamos aplicar isso primeiro para
e depois para
, mostrando todos os passos algébricos.
Passo 7
Aplicação a
: cálculo de
, sua derivada temporal e
.
Calculemos primeiro
Calculemos primeiro
Agora derivamos em relação ao tempo (usar regra do produto; lembrar que
depende de
):
Note que
.
Agora
vem tanto de
(porque
depende em
através do fator
) quanto de
:
o termo de dá
o termo de
e o termo de
dá
. Logo
Passo 8
Equação de Euler–Lagrange para
: montar e simplificar.
Agora aplicamos
Agora aplicamos
Substituindo as expressões obtidas:
Dividindo por
e agrupando termos semelhantes (observe
), obtemos
Se preferir expressar
isolado:
(Interpretação breve: a presença do termo com
é efeito geométrico devido à curvatura da superfície; o termo com
vem do potencial gravitacional.)
Passo 9
Aplicação a
: calcular as derivadas e obter a equação de movimento correspondente.
Do Lagrangiano temos e
(o Lagrangiano não depende de
explicitamente). Então a equação de Euler–Lagrange para
é
Do Lagrangiano temos
Portanto
ou seja, o movimento na direção
é retilíneo uniforme (sem forças nessa direção), conforme a simetria de translação em
.