Questão 3.8 Considere uma partícula de massa m movendo-se em uma superfície lisa parabólica descrita por z=k x^{2} no campo gravitacional uniforme. Determine as equações de movimento usando o formalismo de Lagrange.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que a questão pede):
Temos uma partícula de massa m que se move sobre uma superfície lisa descrita por z = k x^{2} sujeita a um campo gravitacional uniforme (aceleração da gravidade g, vertical para baixo). A superfície impõe a restrição geométrica z=kx^{2}. A tarefa é determinar as equações de movimento usando o formalismo de Lagrange (ou seja, obter as equações diferenciais que descrevem \,x(t) e \,y(t)).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Massa: m.
  • Superfície/ restrição: z = k x^{2}.
  • Campo gravitacional uniforme com aceleração g para baixo (potencial gravitacional V = mgz).
  • Superfície lisa: nenhuma força de atrito tangencial.
    O objetivo final: escrever as equações de Euler–Lagrange correspondentes às coordenadas generalizadas que descrevem o movimento da partícula.

Passo 2

Escolha de coordenadas generalizadas e representação do ponto material:
Como a superfície impõe z em função de x, a partícula tem dois graus de liberdade independentes: x e y. Portanto escolhemos as coordenadas generalizadas
q_{1}=x,\qquad q_{2}=y.
A posição do ponto material (vetor posição) em coordenadas cartesianas é
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;k x^{2}\bigr).
Aqui usamos x e y como funções do tempo: x(t),y(t). Vamos agora obter as velocidades para montar energia cinética e potencial.

Passo 3

Velocidade e energia cinética T: cálculo passo a passo das componentes da velocidade.
Derivando \mathbf{r} em relação ao tempo:
\dot{\mathbf{r}}=\Bigl(\dot{x},\;\dot{y},\;\frac{d}{dt}(k x^{2})\Bigr)=\bigl(\dot{x},\;\dot{y},\;2k x\dot{x}\bigr).
O quadrado da velocidade é
v^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+(2k x\dot{x})^{2}=\bigl(1+4k^{2}x^{2}\bigr)\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}.
Portanto a energia cinética é
T=\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{1}{2}m\Bigl[\bigl(1+4k^{2}x^{2}\bigr)\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\Bigr].
(Explicação curta: T=\tfrac{1}{2}m|\dot{\mathbf{r}}|^{2}. Cada componente da velocidade entra ao quadrado.)

Passo 4

Energia potencial V: explicação e expressão.
No campo gravitacional uniforme com escolha da origem de energia tal que o potencial é V=mgz, e usando a restrição z=kx^{2}, obtemos
V=m g z = m g k x^{2}.
(Explicação: o potencial depende só de x porque z é função de x.)

Passo 5

Construção do Lagrangiano L=T-V.
Substituindo T e V obtemos
L=\tfrac{1}{2}m\Bigl[\bigl(1+4k^{2}x^{2}\bigr)\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\Bigr]-m g k x^{2}.

Passo 6

Fórmula de Euler–Lagrange e interpretação das derivadas.
Para cada coordenada generalizada q_{i} (= x ou y) a equação de movimento vem da condição
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0.
Aqui \partial L/\partial \dot{q}_{i} é o momento conjugado à velocidade \dot{q}_{i} e a equação acima dá a equação diferencial de segunda ordem para q_{i}(t). Vamos aplicar isso primeiro para x e depois para y, mostrando todos os passos algébricos.

Passo 7

Aplicação a x: cálculo de \partial L/\partial \dot{x}, sua derivada temporal e \partial L/\partial x.
Calculemos primeiro
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\bigl(1+4k^{2}x^{2}\bigr)\dot{x}.
Agora derivamos em relação ao tempo (usar regra do produto; lembrar que x depende de t):
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = m\frac{d}{dt}\!\bigl[(1+4k^{2}x^{2})\dot{x}\bigr] = m\Bigl[(1+4k^{2}x^{2})\ddot{x} + \bigl(8k^{2}x\dot{x}\bigr)\dot{x}\Bigr].
Note que \frac{d}{dt}(1+4k^{2}x^{2})=8k^{2}x\dot{x}.
Agora \partial L/\partial x vem tanto de T (porque T depende em x através do fator 1+4k^{2}x^{2}) quanto de -V:
o termo de T
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{1}{2}m(1+4k^{2}x^{2})\dot{x}^{2}\Bigr) = \tfrac{1}{2}m\cdot(8k^{2}x)\dot{x}^{2}=4m k^{2} x\dot{x}^{2},
e o termo de -V -\partial V/\partial x=-2mgk x. Logo
\frac{\partial L}{\partial x}=4m k^{2} x\dot{x}^{2}-2 m g k x.

Passo 8

Equação de Euler–Lagrange para x: montar e simplificar.
Agora aplicamos
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
Substituindo as expressões obtidas:
m\Bigl[(1+4k^{2}x^{2})\ddot{x} + 8k^{2}x\dot{x}^{2}\Bigr] - \bigl(4m k^{2} x\dot{x}^{2}-2 m g k x\bigr)=0.
Dividindo por m e agrupando termos semelhantes (observe 8k^{2}x\dot{x}^{2}-4k^{2}x\dot{x}^{2}=4k^{2}x\dot{x}^{2}), obtemos
(1+4k^{2}x^{2})\ddot{x} + 4k^{2}x\dot{x}^{2} + 2 g k x = 0.
Se preferir expressar \ddot{x} isolado:
\ddot{x}=-\frac{4k^{2}x\dot{x}^{2}+2 g k x}{1+4k^{2}x^{2}}.
(Interpretação breve: a presença do termo com \dot{x}^{2} é efeito geométrico devido à curvatura da superfície; o termo com g vem do potencial gravitacional.)

Passo 9

Aplicação a y: calcular as derivadas e obter a equação de movimento correspondente.
Do Lagrangiano temos \partial L/\partial \dot{y}=m\dot{y} e \partial L/\partial y=0 (o Lagrangiano não depende de y explicitamente). Então a equação de Euler–Lagrange para y é
\frac{d}{dt}(m\dot{y})-0=0\quad\Rightarrow\quad m\ddot{y}=0.
Portanto
\ddot{y}=0,
ou seja, o movimento na direção y é retilíneo uniforme (sem forças nessa direção), conforme a simetria de translação em y.

Resposta

(1+4k^{2}x^{2})\ddot{x}+4k^{2}x\dot{x}^{2}+2gk x=0
\ddot{y}=0

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