Questão 3.11 Um cilindro de raio
e massa
rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal. Use o formalismo de Lagrange para determi-
nar a equação de movimento do cilindro, considerando a energia cinética de rotação e translação.
nar a equação de movimento do cilindro, considerando a energia cinética de rotação e translação.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a equação de movimento de um cilindro de raio
e massa
que rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal, usando o formalismo de Lagrange e considerando energia cinética de translação e rotação. Informações relevantes fornecidas:
É pedido explicitamente usar Lagrange e considerar as contribuições cinéticas translacional e rotacional. Não foi dado nenhum forçamento horizontal externo; forças normais e peso existem mas se anulam na direção vertical (logo potencial gravitacional pode ser tomada constante). O vínculo “sem deslizar” relaciona a posição do centro de massa com o ângulo de rotação.
Passo 2
Escolho as coordenadas generalizadas e escrevo o vínculo sem deslizar.
Defino:
Defino:
O vínculo de rolamento sem deslizamento impõe que o deslocamento do centro é igual ao arco rodado na borda:
Derivando em relação ao tempo obtemos a relação entre velocidades:
Essa relação nos permite reduzir as variáveis: podemos escolher
como coordenada generalizada e eliminar
, ou vice-versa.
Passo 3
Escrevo as energias cinéticas e explico as fórmulas usadas.
- Energia cinética de translação do cilindro (centro de massa com velocidade
):
Explicação: a fórmula geral da energia cinética de translação é
, onde
é a velocidade do centro de massa.
- Energia cinética de rotação em torno do centro (velocidade angular
):
onde
é o momento de inércia do cilindro em relação ao seu eixo central. Explicação: a energia rotacional é
, com
.
Usando o vínculo
podemos escrever
em função de
:
Passo 4
Somando as contribuições, obtenho a energia cinética total
e construo a Lagrangiana.
Como o movimento é sobre uma superfície horizontal e a energia potencial gravitacional é constante (forças verticais se anulam), posso tomar . Assim a Lagrangiana é
Como o movimento é sobre uma superfície horizontal e a energia potencial gravitacional é constante (forças verticais se anulam), posso tomar
Agrupando termos:
Passo 5
Aplico a equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada
.
A equação de Euler–Lagrange (para coordenada ) é:
A equação de Euler–Lagrange (para coordenada
Aqui
não depende explicitamente de
, apenas de
, logo
. Calculo a derivada:
Derivando no tempo:
Pela equação de Euler–Lagrange obtemos a equação de movimento:
Passo 6
Interpretação física e consequências para
.
A equação significa que não há aceleração do centro de massa:
. Isso é consistente com a ausência de força horizontal resultante (a força de atrito estático pode existir para estabelecer o vínculo, mas não faz trabalho nem produz aceleração líquida horizontal neste problema sem forças externas). Pela relação de vínculo
segue que
: o cilindro gira com velocidade angular constante.
A equação
Passo 7
Substituo a expressão do momento de inércia para um cilindro maciço homogêneo (se for esse o caso).
Para um cilindro sólido homogêneo de raio e massa
, o momento de inércia em relação ao eixo central é
Para um cilindro sólido homogêneo de raio
Substituindo em
obtemos:
logo
Ou seja, para o cilindro maciço o coeficiente numérico fica
, mas o resultado físico continua: movimento retilíneo uniforme do centro de massa e rotação com velocidade angular constante.