Questão 3.11 Um cilindro de raio R e massa M rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal. Use o formalismo de Lagrange para determi-
nar a equação de movimento do cilindro, considerando a energia cinética de rotação e translação.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a equação de movimento de um cilindro de raio R e massa M que rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal, usando o formalismo de Lagrange e considerando energia cinética de translação e rotação. Informações relevantes fornecidas:
\text{Cilindro: raio }R,\\ \text{massa }M,\\ \text{roda rolando sem deslizar sobre superfície horizontal.}í
É pedido explicitamente usar Lagrange e considerar as contribuições cinéticas translacional e rotacional. Não foi dado nenhum forçamento horizontal externo; forças normais e peso existem mas se anulam na direção vertical (logo potencial gravitacional pode ser tomada constante). O vínculo “sem deslizar” relaciona a posição do centro de massa com o ângulo de rotação.

Passo 2

Escolho as coordenadas generalizadas e escrevo o vínculo sem deslizar.
Defino:
x(t)\\ \text{: posição do centro de massa ao longo da superfície (coordenada generalizada).}çãí
\theta(t)\\ \text{: ângulo de rotação do cilindro (positivo quando o cilindro gira no sentido do deslocamento).}âçã
O vínculo de rolamento sem deslizamento impõe que o deslocamento do centro é igual ao arco rodado na borda:
x(t)=R\,\theta(t)+\text{const.}
Derivando em relação ao tempo obtemos a relação entre velocidades:
\dot x(t)=R\,\dot\theta(t).
Essa relação nos permite reduzir as variáveis: podemos escolher x como coordenada generalizada e eliminar \theta, ou vice-versa.

Passo 3

Escrevo as energias cinéticas e explico as fórmulas usadas.
  • Energia cinética de translação do cilindro (centro de massa com velocidade \dot x):
T_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}M\dot x^{2}.
Explicação: a fórmula geral da energia cinética de translação é \tfrac{1}{2}m v^{2}, onde v é a velocidade do centro de massa.
  • Energia cinética de rotação em torno do centro (velocidade angular \dot\theta):
T_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\dot\theta^{2},
onde I é o momento de inércia do cilindro em relação ao seu eixo central. Explicação: a energia rotacional é \tfrac{1}{2}I\omega^{2}, com \omega=\dot\theta.
Usando o vínculo \dot\theta=\dot x/R podemos escrever T_{\text{rot}} em função de \dot x:
T_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\left(\frac{\dot x}{R}\right)^{2}=\tfrac{1}{2}\frac{I}{R^{2}}\dot x^{2}.

Passo 4

Somando as contribuições, obtenho a energia cinética total T e construo a Lagrangiana.
Como o movimento é sobre uma superfície horizontal e a energia potencial gravitacional é constante (forças verticais se anulam), posso tomar V=0. Assim a Lagrangiana é
L=T-V=T=\tfrac{1}{2}M\dot x^{2}+\tfrac{1}{2}\frac{I}{R^{2}}\dot x^{2}.
Agrupando termos:
L=\tfrac{1}{2}\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right)\dot x^{2}.

Passo 5

Aplico a equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada x.
A equação de Euler–Lagrange (para coordenada q=x) é:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
Aqui L não depende explicitamente de x, apenas de \dot x, logo \partial L/\partial x=0. Calculo a derivada:
\frac{\partial L}{\partial \dot x}=\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right)\dot x.
Derivando no tempo:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)=\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right)\ddot x.
Pela equação de Euler–Lagrange obtemos a equação de movimento:
\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right)\ddot x=0.

Passo 6

Interpretação física e consequências para \theta.
A equação \left(M+\dfrac{I}{R^{2}}\right)\ddot x=0 significa que não há aceleração do centro de massa: \ddot x=0. Isso é consistente com a ausência de força horizontal resultante (a força de atrito estático pode existir para estabelecer o vínculo, mas não faz trabalho nem produz aceleração líquida horizontal neste problema sem forças externas). Pela relação de vínculo \dot x=R\dot\theta segue que \ddot\theta=0: o cilindro gira com velocidade angular constante.

Passo 7

Substituo a expressão do momento de inércia para um cilindro maciço homogêneo (se for esse o caso).
Para um cilindro sólido homogêneo de raio R e massa M, o momento de inércia em relação ao eixo central é
I=\tfrac{1}{2}MR^{2}.
Substituindo em \left(M+\dfrac{I}{R^{2}}\right)\ddot x=0 obtemos:
\left(M+\frac{\tfrac{1}{2}MR^{2}}{R^{2}}\right)\ddot x=\left(M+\tfrac{1}{2}M\right)\ddot x=\tfrac{3}{2}M\ddot x=0,
logo
\ddot x=0,\qquad \ddot\theta=0.
Ou seja, para o cilindro maciço o coeficiente numérico fica \tfrac{3}{2}M, mas o resultado físico continua: movimento retilíneo uniforme do centro de massa e rotação com velocidade angular constante.

Resposta

\left(M+\frac{I}{R^{2}}\right)\ddot x=0
\text{Para cilindro maciço homogêneo }I=\tfrac{1}{2}MR^{2}\Rightarrow \tfrac{3}{2}M\ddot x=0\\ (\text{ou }\ddot x=0,\\ \ddot\theta=0)çê

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