Questão 10 . Considere um sistema de equações lineares cuja matriz ampliada do sistema é
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 2 & 5 & 3 & 0 \\\\ -1 & 1 & \beta & 0 \end{array}\right]
onde \beta é um número real.
a) É possivel que o sistema não admita solução? Explique.
b) Para que valores de \beta o sistema admitira infinitas soluções?

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações e três incógnitas cuja matriz ampliada é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 2 & 5 & 3 & 0\\\\ -1 & 1 & \beta & 0 \end{pmatrix}
O conteúdo principal é classificação de sistema linear (compatibilidade e número de soluções) usando propriedades de sistemas homogêneos e determinantes.

Passo 2

Como o vetor de termos independentes é o vetor nulo, o sistema é homogêneo e sempre admite pelo menos a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Portanto, não é possível que o sistema não tenha solução.

Passo 3

Para haver infinitas soluções em um sistema homogêneo de 3 incógnitas, a matriz de coeficientes A deve ter posto menor que 3. Isso equivale a
\det(A)=0.
Usando a regra de Sarrus ou cofactores,
\det(A) =1\cdot(5\beta-3)-2\cdot(2\beta+3)+1\cdot(2+5) =5\beta-3-4\beta-6+7 =\beta-2.
Logo, \det(A)=0 se, e somente se, \beta=2. Nesse caso temos \rank(A)=2<3 e, por ser homogêneo, o sistema apresenta infinitas soluções.

Resposta

a) Não, pois o sistema homogêneo é sempre compatível.
b) O sistema admite infinitas soluções exatamente para \beta=2.

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