Questão 9 . Considere a matriz abaixo, onde a e b são números reais, como a matriz ampliada de um sistema de equações lineares
\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 1 & -3 & -1 & b \\\\ -2 & 5 & a & 0 \end{array}\right]
a) Determine para que valores de a e b o sistema não admite solução.
b) Resolva o sistema para a=2 e b=0. Determine o grau de liberdade do sistema (nulidade da matriz dos coeficientes).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de três equações lineares nas variáveis x,y,z, cuja matriz ampliada é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 1 & -3 & -1 & b \\\\ -2 & 5 & a & 0 \end{pmatrix}.
Vamos usar duas ferramentas: (i) o cálculo do determinante da matriz de coeficientes para verificar quando ela é invertível (solução única) e (ii) o critério de Rouché–Capelli para identificar inconsistência ( \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}([A\mid b])). Para o caso específico a=2,b=0 resolveremos o sistema por eliminação.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 1 & -3 & -1\\\\ -2 & 5 & a \end{vmatrix} =-(a+2).
Logo, se a\neq -2 então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única para todo b, não havendo inconsistência.

Passo 3

Para a=-2\) o determinante zera e a matriz de coeficientes perde posto. O sistema fica \[\begin{cases} x -2y +3z = -1,\\\ x -3y -z = b,\\\\ -2x +5y -2z = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
y + 4z = -1 - b.
Por outro lado, somando à terceira equação duas vezes a primeira temos
y + 4z = -2.
Para existir solução é preciso -1 - b = -2\], ou seja \(b=1. Se b\neq1 ocorre \mathrm{rank}(A)=2<3=\mathrm{rank}([A\mid b]) e o sistema não admite solução.

Passo 4

Agora tomemos a=2\) e \(b=0\). Como \(\det(A)=-(2+2)=-4\neq0\), o sistema é invertível e tem solução única. Ele é \[\begin{cases} x -2y +3z = -1,\\\ x -3y -z = 0,\\\\ -2x +5y +2z = 0. \end{cases}
Da primeira menos a segunda vem
y + 4z = -1 \quad\Longrightarrow\quad y = -1 -4z.
Substituindo em (x -3y -z=0] dá
x +3 +12z -z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -3 -11z.
Na terceira equação fica
-2(-3-11z)+5(-1-4z)+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad 1 +4z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -\tfrac14.
Então
y = -1 -4\Bigl(-\tfrac14\Bigr) = 0, \quad x = -3 -11\Bigl(-\tfrac14\Bigr) = -\tfrac14.

Passo 5

Como \det(A)\neq0, a nulidade da matriz dos coeficientes é zero. Isso significa que o espaço de soluções da homogênea é trivial, logo o grau de liberdade do sistema é 0.

Resposta

a) O sistema não admite solução se, e somente se,
a = -2 e b \neq 1.
b) Para a=2, b=0 a solução única é
x = -\tfrac14,\quad y = 0,\quad z = -\tfrac14,
e o grau de liberdade (nulidade) é 0.

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