Questão 10. Construa o Ciclo de Born-Haber para o sólido iônico \mathrm{MgBr}_{2}, indicando todas as etapas. A partir dos dados contidos no quadro abaixo, determine o valor da energia de rede para esse composto. Nas condições padrão o bromo \left(\mathrm{Br}_{2}\right) é líquido e o magnésio (\mathrm{Mg}) é sólido.
Espécie Química Dado Experimental (kJ mol { }^{-1} )
\mathrm{Mg}(\mathrm{g}) \Delta_{\mathrm{f}} \mathrm{H}^{0}=+147,1
\mathrm{Mg}^{+}(\mathrm{g}) 1^{\mathrm{a}} \mathrm{E}_{\mathrm{i}}=+737,7
\mathrm{Mg}^{2+}(\mathrm{g}) 2^{\mathrm{a}} \mathrm{E}_{\mathrm{i}}=+1.451
\mathrm{Br}(\mathrm{g}) \Delta_{\mathrm{f}} \mathrm{H}^{0}=+111,9
\mathrm{Br}^{-}(\mathrm{g}) \mathrm{E}_{\mathrm{ae}}=-324,5
\mathrm{MgBr}_{2}(\mathrm{~s}) \Delta_{\mathrm{f}} \mathrm{H}^{0}=-524,3

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o Ciclo de Born–Haber para o sólido iônico \mathrm{MgBr}_{2}, indicando todas as etapas, e que a partir dos dados da tabela determine o valor da energia de rede desse composto. As informações relevantes fornecidas são (valores em \text{kJ mol}^{-1}):
\Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{Mg(g)}\big)=+147{,}1
1^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}\big(\mathrm{Mg}\to\mathrm{Mg}^{+}\big)=+737{,}7
2^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}\big(\mathrm{Mg}^{+}\to\mathrm{Mg}^{2+}\big)=+1\,451
\Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{Br(g)}\big)=+111{,}9
\text{EA}\big(\mathrm{Br}\big)=E_{\mathrm{ae}}\big(\mathrm{Br(g)}+\mathrm{e}^{-}\to\mathrm{Br}^{-}(g)\big)=-324{,}5
\Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{MgBr}_{2}(s)\big)=-524{,}3
Condição inicial indicada no enunciado: \mathrm{Br}_{2} é líquido nas condições padrão e \mathrm{Mg} é sólido nas condições padrão.

Passo 2

O que é o Ciclo de Born–Haber e como ele nos ajuda aqui?\n
  • O Ciclo de Born–Haber é uma aplicação do princípio de Hess: a entalpia de formação de um sal iônico a partir dos seus elementos pode ser decomposta em várias etapas termodinâmicas (sublimação, dissociação/atomização, ionização, afinidade eletrônica, e formação do retículo cristalino). Somando (algebricamente) todas essas entalpias obtemos a entalpia de formação; isolando a energia associada à formação do retículo (energia de rede) conseguimos calculá‑la.\n
  • Vou definir claramente cada termo que vou usar e a convenção de sinais: quando eu escrever U_{\text{rede}} vou me referir à energia liberada ao formar o sólido a partir dos íons gasosos (portanto será um valor negativo, porque libera energia). Se alguém preferir a “energia de rede” como a energia necessária para separar o sólido em íons gasosos, é simplesmente o mesmo número com sinal oposto.

Passo 3

Listagem das etapas do ciclo, para 1 mol de \mathrm{MgBr}_{2}(s) formado a partir dos elementos nas condições padrão:
  1. Sublimação do magnésio sólido para átomo gasoso:
\mathrm{Mg}(s)\longrightarrow\mathrm{Mg}(g)\quad\Delta H_{\text{sub}}= \Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{Mg(g)}\big)=+147{,}1
  1. Formação de átomos de bromo a partir do \mathrm{Br}_{2}(l): para formar 2 átomos de bromo gasoso (pois uma fórmula \mathrm{MgBr}_{2} tem dois bromo):
\mathrm{Br}_{2}(l)\longrightarrow 2\,\mathrm{Br}(g)\quad\Delta H_{\text{atom}}=2\Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{Br(g)}\big)=2\times111{,}9
  1. Ionização do magnésio em duas etapas (para obter \mathrm{Mg}^{2+}(g)):
\mathrm{Mg}(g)\longrightarrow\mathrm{Mg}^{+}(g)+\mathrm{e}^{-}\quad 1^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}=+737{,}7
\mathrm{Mg}^{+}(g)\longrightarrow\mathrm{Mg}^{2+}(g)+\mathrm{e}^{-}\quad 2^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}=+1\,451
  1. Afixação de elétrons nos átomos de bromo (duas afinidades eletrônicas, cada uma libera energia):
\mathrm{Br}(g)+\mathrm{e}^{-}\longrightarrow\mathrm{Br}^{-}(g)\quad \text{EA}=-324{,}5
Como há dois bromo:
\text{soma das EAs}=2\times(-324{,}5)
  1. Formação do sólido a partir dos íons gasosos — energia de rede (lattice), que é o objetivo calcular:
\mathrm{Mg}^{2+}(g)+2\,\mathrm{Br}^{-}(g)\longrightarrow\mathrm{MgBr}_{2}(s)\quad U_{\text{rede}}=\text{?}

Passo 4

Montagem da equação de Hess ligada a essas etapas.\n
A entalpia de formação do sólido a partir dos elementos nas condições padrão é igual à soma das entalpias de todas as etapas descritas (incluindo U_{\text{rede}}). Em fórmula:
\Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{MgBr}_{2}(s)\big)=\Delta H_{\text{sub}}+\big(1^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}+2^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}\big)+\Delta H_{\text{atom}}+\big(2\times\text{EA}\big)+U_{\text{rede}}
Aqui explico cada símbolo:
  • \Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{MgBr}_{2}(s)\big) é a entalpia de formação dada do sal a partir dos elementos nas condições padrão (dada: -524{,}3).
  • \Delta H_{\text{sub}} é a energia para transformar \mathrm{Mg}(s) em \mathrm{Mg}(g) (dada: +147{,}1).
  • 1^{\text{a}}E_{\mathrm{i}} e 2^{\text{a}}E_{\mathrm{i}} são as primeiras e segundas energias de ionização do Mg (dadas).
  • \Delta H_{\text{atom}} é a energia necessária para formar 2\,\mathrm{Br}(g) a partir de \mathrm{Br}_{2}(l) (igual a 2\times\Delta_{f}H^{0}(\mathrm{Br(g)})).
  • 2\times\text{EA} é a soma das duas afinidades eletrônicas (cada afinidade é negativa quando libera energia).
  • U_{\text{rede}} é a energia liberada ao formar o sólido a partir dos íons gasosos — incógnita.

Passo 5

Substituição dos valores numéricos e cálculo passo a passo.\n
Primeiro calcule cada termo:
Sublimação:
\Delta H_{\text{sub}}=+147{,}1
Soma das energias de ionização:
1^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}+2^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}=737{,}7+1\,451=2\,188{,}7
Atomização do bromo (formar 2 átomos \mathrm{Br}(g)):
\Delta H_{\text{atom}}=2\times111{,}9=223{,}8
Soma das afinidades eletrônicas (duas vezes -324{,}5):
2\times\text{EA}=2\times(-324{,}5)=-649{,}0
Agora somo todos os termos conhecidos (exceto U_{\text{rede}}):
S=\Delta H_{\text{sub}}+\big(1^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}+2^{\text{a}}E_{\mathrm{i}}\big)+\Delta H_{\text{atom}}+\big(2\times\text{EA}\big)
S=147{,}1+2\,188{,}7+223{,}8-649{,}0
Calcule passo a passo:
147{,}1+2\,188{,}7=2\,335{,}8
2\,335{,}8+223{,}8=2\,559{,}6
2\,559{,}6-649{,}0=1\,910{,}6
Portanto
S=1\,910{,}6\\ \text{kJ mol}^{-1}
Agora uso a equação de Hess escrita no Passo 4:
\Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{MgBr}_{2}(s)\big)=S+U_{\text{rede}}
Isolando U_{\text{rede}}:
U_{\text{rede}}=\Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{MgBr}_{2}(s)\big)-S
Substituindo \Delta_{f}H^{0}\big(\mathrm{MgBr}_{2}(s)\big)=-524{,}3 e S=1\,910{,}6:
U_{\text{rede}}=-524{,}3-1\,910{,}6=-2\,434{,}9
Portanto o valor calculado da energia de rede, na convenção “energia liberada ao formar o sólido a partir dos íons gasosos”, é
U_{\text{rede}}=-2\,434{,}9\\ \text{kJ mol}^{-1}
Interpretação de sinais (importante para a prova): se você preferir reportar a “energia de rede” como a energia requerida para separar o sólido em íons gasosos (ou seja, valor positivo de ruptura), então o valor seria +2\,434{,}9\\ \text{kJ mol}^{-1}. Ambas as formas aparecem na literatura; fique atento à convenção pedida pela questão.

Resposta

-2\,434{,}9\\ \text{kJ mol}^{-1}

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