Questão 10 Determine se existe uma matriz inversível
tal que
onde
Passo 1
O enunciado pede para decidir se existe uma matriz invertível
satisfazendo
onde
O conteúdo usado será manipulação de potências de matriz e o fato de que, se
é invertível, podemos multiplicar por
e
para isolar
.
Passo 2
Supondo que
é invertível, multiplica-se a equação
pela esquerda por
, obtendo
Em seguida multiplica-se essa relação pela direita por
, o que dá
Como
é invertível,
,
e
. Logo,
Passo 3
fica
Isso mostra que qualquer solução invertível teria de ser exatamente
.
Passo 4
Agora computamos
:
Calculamos o determinante de
:
Isso é
Como
, essa
não é invertível.
Resposta
Não existe matriz invertível
que satisfaça
.