Questão 10 Determine se existe uma matriz inversível A tal que
A^{4}=A B A^{2}+2 A^{3},
onde
B=\left(\begin{array}{rcr} -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se existe uma matriz invertível A\in M_{3\times3}(\mathbb{R}) satisfazendo
A^{4}=A\,B\,A^{2}+2\,A^{3},
onde
B=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & -4 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será manipulação de potências de matriz e o fato de que, se A é invertível, podemos multiplicar por A^{-1} e A^{-2} para isolar A.

Passo 2

Supondo que A é invertível, multiplica-se a equação
A^{4}=A\,B\,A^{2}+2\,A^{3}
pela esquerda por A^{-1}, obtendo
A^{3}=B\,A^{2}+2\,A^{2}.
Em seguida multiplica-se essa relação pela direita por A^{-2}, o que dá
A^{3}\,A^{-2}=(B\,A^{2})\,A^{-2}+2\,A^{2}\,A^{-2}.
Como A é invertível, A^{3}A^{-2}=A, B\,A^{2}A^{-2}=B e A^{2}A^{-2}=I. Logo,

Passo 3

fica
A = B + 2\,I.
Isso mostra que qualquer solução invertível teria de ser exatamente A=B+2I.

Passo 4

Agora computamos A=B+2I:
A = \begin{pmatrix} -1+2 & 1 & -1\\\\ 0 & -1+2& 0\\\\ 2 & 1 & -4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&-2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0&0\\\ 2&-2\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&1\end{pmatrix}.
Isso é
\det(A) =1\,(1\cdot(-2)-0\cdot1)-1\,(0\cdot(-2)-0\cdot2) -1\,(0\cdot1-1\cdot2) =-2-0+2=0.
Como \det(A)=0, essa A não é invertível.

Resposta

Não existe matriz invertível A que satisfaça A^{4}=A\,B\,A^{2}+2\,A^{3}.

Exercícios relacionados