Questão 11 (IME-03) Considere uma matriz
quadrada de ordem
, de coeficientes reais e
um número real diferente de 1 . Sabendo-se que
, mostre que
é uma matriz inversível.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz real
tal que
com
. Queremos mostrar que
é inversível, ou seja, que
.
Passo 2
Suponha que exista um vetor não nulo
no núcleo de
, isto é,
Daí segue
Passo 3
Aplicando
em ambos os lados de
obtemos
pois
. Em seguida, usamos a hipótese
:
O lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo
Como
, conclui-se que
.
Passo 4
Vimos que a única solução de
é
. Portanto
, o que implica que
é injetora em um espaço de dimensão finita e, consequentemente, inversível.
Resposta
A matriz
é inversível.