Questão 13 (ITA) Seja A uma matriz quadrada inversível, de ordem 3. Seja B a matriz dos cofatores da matriz A. Sabendo-se que \operatorname{det}(A)=-2, calcule \operatorname{det}(B).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que A é uma matriz invertível de ordem 3, com \det(A)=-2, e que B é a matriz dos cofatores de A. Precisamos achar \det(B). Para isso, vamos usar a relação entre a matriz de cofatores, a matriz adjunta (adjugate) e a inversa de A, além de propriedades de determinante.

Passo 2

Lembrando que a matriz adjunta de A, denotada por \adj(A), é a transposta da matriz de cofatores. Logo,
\adj(A) \;=\; B^T.

Passo 3

Também sabemos que a adjunta se relaciona com a inversa por
\adj(A) \;=\; \det(A)\,A^{-1}.
Combinando as duas expressões,
B^T \;=\; \det(A)\,A^{-1} \quad\Longrightarrow\quad B \;=\; \bigl(\det(A)\,A^{-1}\bigr)^T \;=\;\det(A)\,(A^{-1})^T.

Passo 4

Agora vamos calcular \det(B). Usamos:
  1. Para uma matriz M de ordem 3 e escalar c, \det(cM)=c^3\det(M).
  2. \det\bigl((A^{-1})^T\bigr)=\det(A^{-1})=1/\det(A).
    Logo,
\det(B) =\det\bigl(\det(A)\,(A^{-1})^T\bigr) =\det(A)^3\;\det\bigl((A^{-1})^T\bigr) =\det(A)^3\;\frac{1}{\det(A)} =\det(A)^2.

Passo 5

Basta agora substituir \det(A)=-2:
\det(B)=(-2)^2=4.

Resposta

4

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