Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.
\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}};

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo aqui é teste de convergência absoluta usando comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Chamemos
a_{n}=(-1)^{n-1}\,\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}.
Para investigar a convergência absoluta, consideramos a série
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr| =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}.

Passo 3

Note que, para todo n\ge0, vale
2^{n}+5^{n}\ge5^{n},
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\bigl|a_{n}\bigr| =\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}} \le\frac{3^{n}}{5^{n}} =\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}.
Como a série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}
é geométrica com razão \tfrac{3}{5}<1 e, portanto, convergente, pelo teste da comparação a série \sum|a_{n}| também converge.

Passo 4

Como \sum|a_{n}| converge, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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