Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.
\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}};

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}
e pede para classificá-la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da divergência (critério da forma geral) e, em seguida, comentar sobre a convergência absoluta.

Passo 2

Se uma série \sum a_{n} converge, seu termo geral a_{n} precisa tender a zero. Aqui
a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}
e, em módulo,
|a_{n}|=\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}} =\frac{1}{1+\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}} \longrightarrow 1 \quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto \lim_{n\to\infty}a_{n} não é zero (ele oscila entre valores próximos de \pm1).

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, pelo teste da divergência a série não converge. Logo não é nem absolutamente convergente nem condicionalmente convergente.

Resposta

A série diverge.

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