- (Computação Gráfica) Matrizes transformam imagens. Na atualidade, a maioria das pessoas dispõe de smartphones que possuem câmeras para registrar fotos (como selfies), vídeos curtos e longos, além de registros de terceiros, etc. Com a intensa utilização das redes sociais, muitas vezes é necessário realizar ajustes nesses registros - como rotacionar, redimensionar, cortar, entre outros. Atualmente, esses processos levam poucos minutos ou até segundos, dependendo da tarefa. Mas será que sempre foi assim? Uma das grandes aplicações da Álgebra Linear está na computação gráfica, permitindo a manipulação eficiente de imagens e vídeos. A seguir, encontre soluções para problemas desta natureza utilizando operações básicas com matrizes:
(a) Rotação de Imagem: Suponha que você tenha uma imagem representada por um conjunto de pontos em um plano 2D. Para rotacionar essa imagem em 90 graus no sentido horário, determine a matriz de rotação e aplique-a no ponto
da imagem. Encontre a nova posição
após a rotação.
(b) Redimensionamento de Imagem: O redimensionamento de uma imagem pode ser visto como uma operação de escala em um espaço vetorial. Dado um fator de escala
, construa a matriz de transformação que, aplicada ao ponto
, retorna o novo ponto
correspondente à imagem redimensionada.
(c) Reflexão de Imagem: Um reflexo horizontal inverte as coordenadas de uma imagem ao longo do eixo vertical (ou seja, troca os valores de
de cada ponto
da imagem). Encontre a matriz que descreve essa transformação e aplique-a a um ponto da imagem.
Discuta como essas transformações são usadas em softwares de edição de imagem e vídeo.
8. (Matrizes Booleanas) Matrizes booleanas representam situações com dois estados. Uma matriz é dita do tipo Booleana se suas entradas
forem iguais a
ou
. Estas matrizes são aplicadas computacionalmente para descrever situações em que pretende-se analisar objetos que assumem apenas duas possibilidades de estados. Vejamos alguns exemplos a seguir.
(a) Sejam
três aeroportos brasileiros interligados por meio de vôos diretos ou por meio de voos com escala. A matriz a seguir mostra como estes aeroportos estão interligados, onde o valor 1 representa voos diretos e 0 voos com escala.
O elemento
ai j representa vôos que saem de
Ai e chegam em
Aj. Quais rotas podem ser feitas apenas com vôos diretos?
(b) A matriz
V^2 representa que tipo de situação em termos de conexão entre os aeroportos?
Discuta outras aplicações de matrizes booleanas em ciência da computação e áreas afins.