Questão 10. Determine todas as matrizes que comutam com A=[ll1 & 1 0 & 0], isto é, todas as matrizes X de tipo 2 times 2 tais que A cdot X=X cdot A.

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes Xin M2(R) tais que
A,X ;=; X,A,
onde
A = 1 & 1 0 & 0
O conteúdo é resolver um sistema linear em termos das entradas de X.

Passo 2

Escrevemos a matriz genérica
X = a & b c & d
e calculamos ambos os produtos.
A,X = 1 & 1 0 & 0 a & b c & d = a+c & b+d 0 & 0,
X,A = a & b c & d 1 & 1 0 & 0 = a & a c & c

Passo 3

Igualando as entradas de
Das duas últimas equações vem imediatamente
Substituindo em (a+c=a] ela se confirma, e na segunda temos

Passo 4

Logo as matrizes X que comutam com A são exatamente aquelas da forma
X = a & b 0 & d com a = b + d
Podemos escolher livres b,dinR e definir então
X = b+d & b 0 & d

Passo 5

Repare que isso equivale a escrever
X = b,underbrace1 & 1 0 & 0A ;+; d,underbrace1 & 0 0 & 1I = b,A + d,I

Resposta

Todas as matrizes X de 2times2 que comutam com A são
X = b+d & b 0 & d,
com b,dinR, isto é, X=bA+dI.

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