Prove que as seguintes produtos definidos nos espaços vetoriais dados são produtos internos:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, no espaço vetorial
, a aplicação
satisfaz todos os axiomas de produto interno (simetria, linearidade na primeira entrada e positividade definida).
Passo 2
Mostramos simetria e linearidade conjunta. Dados
,
e
em
e escalar
, temos:
- Simetria:
- Linearidade na primeira entrada:
Passo 3
Verificamos a positividade definida. Para qualquer
:
e só é zero quando
, isto é,
.
Passo 4
Como a forma bilinear é simétrica e linear na primeira entrada, e satisfaz
com igualdade apenas em
, concluímos que ela é de fato um produto interno em
.
Resposta
O produto dado é um produto interno em
, pois satisfaz simetria, linearidade na primeira entrada e positividade definida.