Prove que as seguintes produtos definidos nos espaços vetoriais dados são produtos internos:
V=R^3,lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==x1 y1+x2 y2+x3 y3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, no espaço vetorial V=R^3, a aplicação
lang<= (x1,x2,x3),,(y1,y2,y3)rang<= = x1y1+x2y2+x3y3
satisfaz todos os axiomas de produto interno (simetria, linearidade na primeira entrada e positividade definida).

Passo 2

Mostramos simetria e linearidade conjunta. Dados x=(x1,x2,x3), y=(y1,y2,y3) e z=(z1,z2,z3) em R^3 e escalar cinR, temos:
  1. Simetria:
lang<= x,yrang<= = x1y1+x2y2+x3y3 = y1x1+y2x2+y3x3 = lang<= y,xrang<=
  1. Linearidade na primeira entrada:
lang<= x+z,yrang<= = (x1+z1)y1+(x2+z2)y2+(x3+z3)y3 = lang<= x,yrang<=+lang<= z,yrang<=,
lang<= c,x,yrang<= = (c,x1)y1+(c,x2)y2+(c,x3)y3 = c,(x1y1+x2y2+x3y3) = c,lang<= x,yrang<=

Passo 3

Verificamos a positividade definida. Para qualquer x=(x1,x2,x3):
lang<= x,xrang<= = x1^2+x2^2+x3^2>= 0,
e só é zero quando x1=x2=x3=0, isto é, x=0.

Passo 4

Como a forma bilinear é simétrica e linear na primeira entrada, e satisfaz lang<= x,xrang<=>=0 com igualdade apenas em x=0, concluímos que ela é de fato um produto interno em R^3.

Resposta

O produto dado é um produto interno em V=R^3, pois satisfaz simetria, linearidade na primeira entrada e positividade definida.

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