Prove que as seguintes produtos definidos nos espaços vetoriais dados são produtos internos:
.
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
O conteúdo é provar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno em espaço real: simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida.
Passo 2
Para simetria, observe que em
a multiplicação é comutativa, logo
Assim
.
Passo 3
Para linearidade no primeiro argumento, tomemos
,
e
. Então
Se
, então
Logo é linear no primeiro slot.
Passo 4
Para positividade definida, note que
para todo
. Além disso
se e somente se
e
, isto é, somente para o vetor nulo.
Resposta
A aplicação
satisfaz simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida, logo é um produto interno em
.