Prove que as seguintes produtos definidos nos espaços vetoriais dados são produtos internos:
V=R^2,lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x1 y1+x2 y2.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a aplicação
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2
O conteúdo é provar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno em espaço real: simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida.

Passo 2

Para simetria, observe que em R a multiplicação é comutativa, logo
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2 = y1x1 + y2x2 = lang<=(y1,y2),(x1,x2)rang<=
Assim lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=.

Passo 3

Para linearidade no primeiro argumento, tomemos u=(x1,x2), u'=(x1',x2') e v=(y1,y2). Então
lang<= u+u',vrang<= = (x1+x1')y1 + (x2+x2')y2 = x1y1 + x2y2 + x1'y1 + x2'y2 = lang<= u,vrang<= + lang<= u',vrang<=
Se ainR, então
lang<= a,u,vrang<= = (a x1)y1 + (a x2)y2 = a,(x1y1 + x2y2) = a,lang<= u,vrang<=
Logo é linear no primeiro slot.

Passo 4

Para positividade definida, note que
lang<=(x1,x2),(x1,x2)rang<= = x1^2 + x2^2 >= 0
para todo (x1,x2). Além disso x1^2 + x2^2 = 0 se e somente se x1=0 e x2=0, isto é, somente para o vetor nulo.

Resposta

A aplicação lang<=cdot,cdotrang<= satisfaz simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida, logo é um produto interno em R^2.

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