Questão 10. Qual deve ser o valor de
para que o vetor
seja um vetor unitário?
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
para que o vetor
seja um vetor unitário.
Informações dadas: o vetor está escrito como um escalar multiplicando o vetor
. Não há outras restrições no enunciado.
Informações dadas: o vetor está escrito como um escalar
Passo 2
O que significa “vetor unitário”? Um vetor unitário é um vetor cuja norma (magnitude) vale
. Então a condição que queremos é
Aqui
denota o comprimento do vetor
.
Passo 3
Como calculamos a norma (comprimento) de um vetor em duas dimensões?
Se um vetor tem componentes e
, isto é
, então a norma é dada por
Se um vetor tem componentes
Explicando: isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes do vetor.
Passo 4
Identifiquemos as componentes do vetor dado. Multiplicando o escalar
pelas componentes do vetor base obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da norma:
Faço as potências dentro da raiz:
Passo 6
A raiz de
vale
, porque
. Logo
Como queremos
, obtemos a equação
Passo 7
Resolvendo
temos
. A equação
tem duas soluções:
e
.
Verificação rápida: para o vetor é
cuja norma é
. Para
obtemos o vetor
cuja norma também é
(o sinal só inverte a direção).
Verificação rápida: para