Questão 10. Qual deve ser o valor de a para que o vetor A=a(3 \hat{i}+4 \hat{j}) seja um vetor unitário?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de a para que o vetor A = a(3\hat{i}+4\hat{j}) seja um vetor unitário.
Informações dadas: o vetor está escrito como um escalar a multiplicando o vetor (3\hat{i}+4\hat{j}). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

O que significa “vetor unitário”? Um vetor unitário é um vetor cuja norma (magnitude) vale 1. Então a condição que queremos é
\|A\| = 1.
Aqui \|A\| denota o comprimento do vetor A.

Passo 3

Como calculamos a norma (comprimento) de um vetor em duas dimensões?
Se um vetor tem componentes A_x e A_y, isto é A = A_x\hat{i}+A_y\hat{j}, então a norma é dada por
\|A\| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}.
Explicando: isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes do vetor.

Passo 4

Identifiquemos as componentes do vetor dado. Multiplicando o escalar a pelas componentes do vetor base obtemos
A_x = 3a,\qquad A_y = 4a.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da norma:
\|A\| = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2}.
Faço as potências dentro da raiz:
\|A\| = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2}.

Passo 6

A raiz de 25a^2 vale 5|a|, porque \sqrt{a^2}=|a|. Logo
\|A\| = 5|a|.
Como queremos \|A\|=1, obtemos a equação
5|a| = 1.

Passo 7

Resolvendo 5|a|=1 temos |a| = \frac{1}{5}. A equação |a| = \frac{1}{5} tem duas soluções: a = \frac{1}{5} e a = -\frac{1}{5}.
Verificação rápida: para a=\frac{1}{5} o vetor é \left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right) cuja norma é \sqrt{\left(\tfrac{3}{5}\right)^2+\left(\tfrac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{9+16}{25}}=\sqrt{1}=1. Para a=-\tfrac{1}{5} obtemos o vetor \left(-\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\right) cuja norma também é 1 (o sinal só inverte a direção).

Resposta

a=\dfrac{1}{5}
a=-\dfrac{1}{5}

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