Determine o módulo e a direção do vetor soma vetorial usando os vetores do exercício 1.55:
(a) A=-2 \hat{i}+6 \hat{j} e B=\hat{2} i-3 \hat{j}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine o módulo e a direção do vetor soma vetorial usando os vetores do exercício 1.55: (a) A=-2\hat{i}+6\hat{j} e B=2\hat{i}-3\hat{j}".
Informações relevantes dadas: as componentes dos vetores A e B são \,A_x=-2\,,\;A_y=6\ e \,B_x=2\,,\;B_y=-3.

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicação): vetores no plano podem ser representados por suas componentes ao longo dos eixos x e y. Um vetor V escrito como \,V=V_x\hat{i}+V_y\hat{j}\ tem componente horizontal \,V_x\ e componente vertical \,V_y. Somar vetores é fazer a soma componente a componente:
S_x = A_x + B_x,\qquad S_y = A_y + B_y,
onde S é o vetor soma com componentes S_x e S_y.

Passo 3

Aplicando a soma componente a componente com os números do enunciado:
S_x = -2 + 2 = 0,
S_y = 6 + (-3) = 3.
Logo o vetor soma é
S = 0\hat{i} + 3\hat{j} = 3\hat{j}.

Passo 4

Agora o módulo (ou comprimento) de um vetor S com componentes \,S_x e \,S_y vem do Teorema de Pitágoras: o módulo é
|S| = \sqrt{S_x^{2} + S_y^{2}}.
Explicando: imagine um triângulo retângulo formado pelas projeções nas direções x e y; o comprimento do vetor é a hipotenusa desse triângulo.

Passo 5

Calculemos o módulo com nossos valores:
|S| = \sqrt{0^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9} = 3.
Portanto o módulo da soma é \,3.

Passo 6

Agora a direção. Um modo comum de dar a direção é através do ângulo \theta que o vetor faz com o eixo x positivo. Em geral:
\theta = \arctan\!\left(\frac{S_y}{S_x}\right),
mas atenção: essa fórmula só funciona diretamente quando S_x\neq 0; é preciso também considerar em que quadrante o vetor está, porque a função \arctan sozinha dá um ângulo de referência. Se S_x=0, temos um caso especial:
  • se S_x=0 e S_y>0, o vetor aponta exatamente para cima, então \theta=90^\circ (ou \theta=\tfrac{\pi}{2} rad);
  • se S_x=0 e S_y<0, o vetor aponta para baixo, então \theta=270^\circ (ou \theta=\tfrac{3\pi}{2} rad).

Passo 7

No nosso caso \,S_x=0 e \,S_y=3>0. Aplicando a regra do passo anterior, concluímos que o vetor soma aponta exatamente para cima, ou seja:
\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.

Passo 8

Resumo interpretativo (confirmação): a soma das componentes horizontais cancelou ( -2+2=0), sobrando apenas componente vertical positiva 3. Visualmente, os vetores se combinaram para produzir um vetor de comprimento 3 apontando para o eixo y positivo.

Resposta

3
\theta=90^\circ (ou \theta=\tfrac{\pi}{2} rad)

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