Determine o módulo e a direção do vetor soma vetorial usando os vetores do exercício 1.55:
(b) A=3 \hat{i}+5 \hat{j} e B=10^{\hat{\imath}}+6 \hat{j}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o módulo e a direção do vetor soma formado pelos vetores dados. As informações fornecidas são:
A = 3\hat{\imath} + 5\hat{\jmath}
e (interpretei a notação escrita como)
B = 10\hat{\imath} + 6\hat{\jmath}.
Perguntas a responder: qual é o módulo do vetor soma A+B e qual é a sua direção (ângulo em relação ao eixo positivo x).

Passo 2

Como somar vetores em componentes (a ideia): se eu tenho dois vetores em componentes
A=(A_x,A_y)\quad\text{e}\quad B=(B_x,B_y),
a soma componente a componente é
A+B=(A_x+B_x,\;A_y+B_y).
Isso vem diretamente da definição de vetores no plano: somar as componentes x e somar as componentes y. Não tem mistério — é tipo somar duas coordenadas x e duas coordenadas y separadamente.

Passo 3

Aplico a regra às componentes dos vetores dados: para A temos A_x=3 e A_y=5; para B temos B_x=10 e B_y=6. Então
A+B = (3+10)\hat{\imath} + (5+6)\hat{\jmath} = 13\hat{\imath} + 11\hat{\jmath}.
Portanto o vetor soma tem componentes S_x=13 e S_y=11.

Passo 4

Como calcular o módulo de um vetor em componentes: se um vetor S tem componentes (S_x,S_y), o módulo (comprimento) é dado pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes:
\lVert S\rVert = \sqrt{S_x^{2}+S_y^{2}}.
Aqui S_x é a componente na direção x e S_y é a componente na direção y. A fórmula nada mais é que a hipotenusa do triângulo com catetos S_x e S_y.

Passo 5

Aplico a fórmula ao vetor soma encontrado: S_x=13 e S_y=11. Então
\lVert A+B\rVert = \sqrt{13^{2}+11^{2}} = \sqrt{169+121} = \sqrt{290}.
Para ter uma noção numérica sem calculadora rápida, observo que 17^{2}=289 e 18^{2}=324, logo \sqrt{290} é um pouco maior que 17. Posso refinar pela aproximação linear:
\sqrt{290}\approx 17+\frac{290-289}{2\cdot17}=17+\frac{1}{34}\approx 17,029.
Arredondando para duas casas decimais: \sqrt{290}\approx 17,03.

Passo 6

Como determinar a direção (ângulo) do vetor: o ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x é dado por
\theta = \arctan\!\left(\frac{S_y}{S_x}\right).
Aqui \arctan é a função trigonométrica inversa da tangente, e \frac{S_y}{S_x} é a tangente do ângulo formado pelo vetor com o eixo x. É importante verificar o quadrante: como S_x>0 e S_y>0, o vetor está no primeiro quadrante e a fórmula direta com \arctan dá o ângulo correto entre 0^\circ e 90^\circ.

Passo 7

Aplico a fórmula com S_x=13 e S_y=11:
\theta = \arctan\!\left(\frac{11}{13}\right).
Numericamente, usando uma calculadora ou tabela de arctan, isso dá aproximadamente
\theta \approx 40,4^\circ.
(Em radianos: \theta \approx 0,705 rad, se preferir essa unidade.)

Passo 8

Resumo final e interpretação rápida: o vetor soma é (13,11), tem módulo \sqrt{290} (aprox. 17,03) e aponta para o primeiro quadrante fazendo um ângulo de aproximadamente 40,4^\circ com o eixo x.

Resposta

\lVert A+B\rVert = \sqrt{290} \approx 17,03
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{11}{13}\right) \approx 40,4^\circ

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