Questão 10:

Um dispositivo cilindro-pistão com um volume inicial de
0,1 \mathrm{~m}^{3}
contem
0,014 \mathrm{~kg}
de hidrogênio a
210 k P a
. O calor é transferido até que o volume final seja
0,085 \mathrm{~m}^{3}
. Se o processo quase estático ocorre a pressão constante, determine a temperatura: final, em graus Celsius:

Passo 1

Dados do enunciado e o que foi pedido:
  • Volume inicial: V_{1}=0,1\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Massa do hidrogênio: m=0,014\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão inicial: p_{1}=210\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume final: V_{2}=0,085\\ \mathrm{m}^{3}.
  • O processo é quase-estático e ocorre a pressão constante, então p_{2}=p_{1}.
O que o problema pede: determinar a temperatura final em graus Celsius.

Passo 2

Conceito essencial que vamos usar (explicadinho): o gás ideal obedece à lei dos gases perfeitos
pV = n R_{u} T,
onde:
  • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m}^{3}),
  • n é o número de mols (em \mathrm{mol}),
  • R_{u} é a constante universal dos gases ( R_{u}=8,314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Outra forma útil, usando massa em vez de mols, é
pV = m R T,
onde R é a constante específica do gás (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e está relacionada por
R=\frac{R_{u}}{M},
sendo M a massa molar do gás (em \mathrm{kg/mol}). Para o hidrogênio molecular \mathrm{H_2} temos M=2,016\\ \mathrm{g/mol}=0,002016\\ \mathrm{kg/mol}.
Explicação rápida do porquê: como o processo é isobárico (pressão constante), podemos aplicar a lei dos gases para o estado final usando a mesma pressão conhecida.

Passo 3

Escolhemos usar a forma com massa e R_{u} para evitar calcular R separadamente. A expressão para a temperatura final T_{2} fica
T_{2}=\frac{p\,V_{2}\,M}{m\,R_{u}},
pois n=\dfrac{m}{M} e substituindo em pV=nR_{u}T obtemos T=\dfrac{pV M}{m R_{u}}.

Passo 4

Convertemos unidades para o SI:
p = 210\\ \mathrm{kPa} = 210000\\ \mathrm{Pa}.
As demais quantidades já estão em unidades SI adequadas:
V_{2}=0,085\\ \mathrm{m}^{3},\quad m=0,014\\ \mathrm{kg},\quad M=0,002016\\ \mathrm{kg/mol},\quad R_{u}=8,314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 5

Calculamos passo a passo o numerador p\,V_{2}\,M. Primeiro pV_{2}:
pV_{2}=210000\cdot 0,085=17850\\ \mathrm{J}.
Agora multiplicamos por M:
pV_{2}M=17850\cdot 0,002016=35,9856.

Passo 6

Calculamos o denominador m\,R_{u}:
mR_{u}=0,014\cdot 8,314462618=0,116402486652.

Passo 7

Agora a temperatura final em Kelvin:
T_{2}=\frac{pV_{2}M}{mR_{u}}=\frac{35,9856}{0,116402486652}\approx 309,116\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_{2,^\circ\mathrm{C}}=T_{2}-273,15\approx 309,116-273,15=35,966\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação final e arredondamento: o resultado dá aproximadamente 36,0\\ ^\circ\mathrm{C}. Dá para confiar nesse valor nas condições usuais porque o hidrogênio se comporta muito bem como gás ideal aqui e todas as unidades foram consistentes.

Resposta

T_{2}\approx 36,0\\ ^\circ\mathrm{C}

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