Uma esfera não condutora possui uma distribuição de carga simétrica mas não uniforme dada por \rho(r)=\rho_{0} R / r, onde \rho_{0}=10 \mu C / m^{3} e R=0,20 m (raio da esfera). a) Calcule o módulo do campo elétrico produzido por essa distribuição de cargas em r=0,10 m e em r=0,50 m; b) Esboce um gráfico de E em função de r.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica de carga radialmente simétrica, porém não uniforme, dada por
\rho(r)=\rho_{0}\,\frac{R}{r},
com \rho_{0}=10\\ \mu\mathrm{C/m^{3}} e R=0,20\\ \mathrm{m}. Pede-se:
  • a) Calcular o módulo do campo elétrico nos pontos \;r=0,10\\ \mathrm{m}\; e \;r=0,50\\ \mathrm{m}.
  • b) Esboçar (descrever) o gráfico de E em função de r.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\rho_{0}=10\\ \mu\mathrm{C/m^{3}}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{3}},\qquad R=0,20\\ \mathrm{m}.
Os pontos pedidos são um com r<R ( 0,10\\ \mathrm{m}) e outro com r>R ( 0,50\\ \mathrm{m}). Não há cargas externas nem condutores; a distribuição é esfericamente simétrica.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (Gauss): Como a densidade de carga depende só de r e a distribuição é esfericamente simétrica, o campo elétrico \mathbf{E} também será radial e terá módulo dependente apenas de r. Nessa situação a maneira mais prática é usar a Lei de Gauss no vácuo:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}), e Q_{\text{enc}} é a carga total contida na superfície gaussiana escolhida. Para uma superfície esférica de raio r centrada na esfera:\newline
  • o lado esquerdo vira E(r)\cdot 4\pi r^{2} (pois \mathbf{E} é radial e constante sobre a esfera),
  • precisamos calcular Q_{\text{enc}}(r)=\displaystyle\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Vou então calcular Q_{\text{enc}}(r) explicitamente para os dois casos r\le R e r\ge R, e daí obter E(r).

Passo 3

Cálculo da carga encerrada para r\le R. Usamos a densidade \rho(r')=\rho_{0}\dfrac{R}{r'}. Portanto
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'=\int_{0}^{r}\rho_{0}\frac{R}{r'}\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Simplificando o integrando:
\rho_{0}\frac{R}{r'}\,4\pi r'^{2}=4\pi\rho_{0}R\,r'.
Integramos de 0 até r:
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\rho_{0}R\int_{0}^{r}r'\,dr'=4\pi\rho_{0}R\left[\frac{r'^{2}}{2}\right]_{0}^{r}=2\pi\rho_{0}R\,r^{2}.
Observação: apesar da singularidade aparente em \rho\propto1/r em r=0, o fator de volume r'^{2} faz a integral convergir e Q_{\text{enc}}(r) é finita e proporcional a r^{2}.

Passo 4

Campo para r\le R (dentro da esfera). Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{2\pi\rho_{0}R\,r^{2}}{\varepsilon_{0}}.
Cancelando r^{2} dos dois lados:
E(r)=\frac{2\pi\rho_{0}R\,r^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}}.
Conclusão importante (e intuitiva aqui): para 0\le r\le R o módulo do campo é constante, independe de r.
Agora substituímos números para r=0,10\\ \mathrm{m} (que está no interior, r<R). Usamos \rho_{0}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{3}} e R=0,20\\ \mathrm{m}:
E_{\text{dentro}}=\frac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}} =\frac{(10\times10^{-6})\times 0,20}{2\times 8,854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{N/C}.
Calculemos: o numerador é 2,0\times10^{-6} e o denominador é 1,7708375634\times10^{-11}, portanto
E(r=0,10\\ \mathrm{m})\approx 1,12948\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando adequadamente: \;E(0,10\\ \mathrm{m})\approx 1,13\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Campo para r\ge R (fora da esfera). Primeiro calcular a carga total da esfera ( Q_{\text{tot}}=Q_{\text{enc}}(R)):
Q_{\text{tot}}=2\pi\rho_{0}R\,R^{2}=2\pi\rho_{0}R^{3}.
Para r\ge R usamos Gauss com Q_{\text{enc}}=Q_{\text{tot}}:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{2\pi\rho_{0}R^{3}}{\varepsilon_{0}}.
Assim
E(r)=\frac{2\pi\rho_{0}R^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{\rho_{0}R^{3}}{2\varepsilon_{0}r^{2}}.
Substituímos para r=0,50\\ \mathrm{m}:
E(r=0,50\\ \mathrm{m})=\frac{\rho_{0}R^{3}}{2\varepsilon_{0}(0,50)^{2}} =\frac{(10\times10^{-6})\times(0,20)^{3}}{2\times 8,854187817\times10^{-12}\times(0,50)^{2}}\\ \mathrm{N/C}.
Calculemos: R^{3}=(0,20)^{3}=0,008. O numerador é 8,0\times10^{-8}. O denominador é 2\varepsilon_{0}r^{2}=2\times8,854187817\times10^{-12}\times0,25\approx4,4270939085\times10^{-12}. Portanto
E(r=0,50\\ \mathrm{m})\approx 1,8077\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando: \;E(0,50\\ \mathrm{m})\approx 1,81\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Verificação e interpretação (continuidade e forma do campo): Avaliando a expressão externa em r=R obtemos
E_{\text{fora}}(R)=\frac{\rho_{0}R^{3}}{2\varepsilon_{0}R^{2}}=\frac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}},
que é exatamente o valor obtido para o interior. Portanto E(r) é contínuo em r=R. O perfil físico:
  • Para 0\le r\le R: E(r)=\dfrac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}} (constante).
  • Para r\ge R: E(r)=\dfrac{\rho_{0}R^{3}}{2\varepsilon_{0}r^{2}} (decai como 1/r^{2}, igual a campo de uma carga total Q_{\text{tot}} concentrada no centro).

Passo 7

Esboço do gráfico E versus r (descrição): O gráfico apresenta:
  • Uma linha horizontal constante desde r=0 até r=R com valor E=\dfrac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}} (no nosso caso \approx 1,13\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}).
  • Em r=R a curva continua sem salto.
  • Para r>R a curva cai rapidamente seguindo uma lei E\propto 1/r^{2} (curva decrescente convexa para cima quando representada em escala linear). Exemplos de pontos: em r=0,50\\ \mathrm{m} o valor é \approx 1,81\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

E(0,10\\ \mathrm{m})\approx 1,13\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}
E(0,50\\ \mathrm{m})\approx 1,81\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}

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