Uma esfera não condutora possui uma distribuição de carga simétrica mas não uniforme dada por
, onde
e
(raio da esfera). a) Calcule o módulo do campo elétrico produzido por essa distribuição de cargas em
e em
; b) Esboce um gráfico de
em função de
.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera não condutora de raio
com densidade volumétrica de carga radialmente simétrica, porém não uniforme, dada por
com
e
. Pede-se:
- a) Calcular o módulo do campo elétrico nos pontos
e . - b) Esboçar (descrever) o gráfico de
em função de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os pontos pedidos são um com
(
) e outro com
(
). Não há cargas externas nem condutores; a distribuição é esfericamente simétrica.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (Gauss): Como a densidade de carga depende só de
e a distribuição é esfericamente simétrica, o campo elétrico
também será radial e terá módulo dependente apenas de
. Nessa situação a maneira mais prática é usar a Lei de Gauss no vácuo:
onde
é a permissividade do vácuo (
), e
é a carga total contida na superfície gaussiana escolhida. Para uma superfície esférica de raio
centrada na esfera:\newline
- o lado esquerdo vira
(pois é radial e constante sobre a esfera), - precisamos calcular
.
Vou então calcular
explicitamente para os dois casos
e
, e daí obter
.
Passo 3
Cálculo da carga encerrada para
. Usamos a densidade
. Portanto
Simplificando o integrando:
Integramos de
até
:
Observação: apesar da singularidade aparente em
em
, o fator de volume
faz a integral convergir e
é finita e proporcional a
.
Passo 4
Campo para
(dentro da esfera). Aplicando Gauss:
Cancelando
dos dois lados:
Conclusão importante (e intuitiva aqui): para
o módulo do campo é constante, independe de
.
Agora substituímos números para
(que está no interior,
). Usamos
e
:
Calculemos: o numerador é
e o denominador é
, portanto
Arredondando adequadamente:
Passo 5
Campo para
(fora da esfera). Primeiro calcular a carga total da esfera (
):
Para
usamos Gauss com
:
Assim
Substituímos para
:
Calculemos:
. O numerador é
. O denominador é
. Portanto
Arredondando:
Passo 6
Verificação e interpretação (continuidade e forma do campo): Avaliando a expressão externa em
obtemos
que é exatamente o valor obtido para o interior. Portanto
é contínuo em
. O perfil físico:
- Para
: (constante). - Para
: (decai como , igual a campo de uma carga total concentrada no centro).
Passo 7
Esboço do gráfico
versus
(descrição): O gráfico apresenta:
- Uma linha horizontal constante desde
até com valor (no nosso caso ). - Em
a curva continua sem salto. - Para
a curva cai rapidamente seguindo uma lei (curva decrescente convexa para cima quando representada em escala linear). Exemplos de pontos: em o valor é .