Questão 10) Dois fios retilíneos de mesmo comprimento a, separados por uma distância b, estão uniformemente carregados com densidade linear de carga \lambda e -\lambda. Calcule o campo elétrico no centro do retângulo de lados a e b.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o campo elétrico no centro do retângulo de lados a e b produzido por dois fios retilíneos de mesmo comprimento a, separados por uma distância b, com densidades lineares de carga \lambda e -\lambda.
Informações dadas:
  • Comprimento de cada fio: a.
  • Separação entre os fios (distância entre seus eixos): b.
  • Densidades lineares de carga: um fio com \lambda e o outro com -\lambda.
  • Pede-se o campo elétrico no centro do retângulo (ponto equidistante das extremidades dos fios e equidistante dos fios).
Geometria adotada (escolhida por simetria, já que enunciado não especifica orientação):
  • Colocar o centro do retângulo na origem.
  • Fios alinhados paralelamente ao eixo y, com seus centros em x=+d e x=-d, onde d=\dfrac{b}{2}.
  • Cada fio se estende em y de -\dfrac{a}{2} até +\dfrac{a}{2}.
  • Assim, o ponto onde queremos o campo é o ponto (0,0).
O que vamos calcular:
  • O campo elétrico total \mathbf{E}(0,0) = soma dos campos gerados por cada fio.
  • Usaremos a lei de Coulomb diferencial para uma densidade linear: elemento de carga dq=\lambda\,dy' e integração ao longo do fio.

Passo 2

Relembrando a fórmula do campo elétrico gerado por um elemento de carga e como aplicá-la a uma linha:
  • Um elemento dq localizado em posição (x',y') produz no ponto (0,0) um campo diferencial
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2}\hat{\mathbf{r}},
onde \mathbf{r}=\mathbf{r}_{\text{observ}}-\mathbf{r}' é o vetor do elemento até o ponto de observação, r=|\mathbf{r}| e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.
  • Para uma linha com densidade linear \lambda, dq=\lambda\,dy' quando parametrizamos pela coordenada y' ao longo do fio.
  • No nosso caso, para um fio situado em x'=d (fio da direita) um elemento está em (d,y') com y'\in\left[-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right]. O vetor do elemento até a origem é \mathbf{r}=(-d,-y') e r=\sqrt{d^2+y'^2}.

Passo 3

Componentes do campo diferencial e uso da simetria:
  • O elemento produz
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda\,dy'}{(d^2+y'^2)}\frac{(-d,-y')}{\sqrt{d^2+y'^2}}.
Ou seja, as componentes são
dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\lambda\frac{-d\,dy'}{(d^2+y'^2)^{3/2}}, \qquad dE_y=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\lambda\frac{-y'\,dy'}{(d^2+y'^2)^{3/2}}.
  • Por simetria da integração em y' de -a/2 a +a/2, a componente E_y será zero, porque a integranda é ímpar em y'.
  • Portanto resta só integrar E_x.

Passo 4

Integração da componente x para um fio:
  • A contribuição total do fio em x'=d é
E_x^{(d)}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\lambda\left(-d\right)\int_{-a/2}^{a/2}\frac{dy'}{(d^2+y'^2)^{3/2}}.
  • Vamos calcular a integral
I=\int_{-a/2}^{a/2}\frac{dy'}{(d^2+y'^2)^{3/2}}.
Fazendo a substituição trigonométrica y'=d\tan\theta, tem-se dy'=d\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta e d^2+y'^2=d^2\operatorname{sec}^2\theta. Assim
I=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{d\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta}{\left(d^2\operatorname{sec}^2\theta\right)^{3/2}} =\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{d\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta}{d^3\operatorname{sec}^3\theta} =\frac{1}{d^2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{d^2}\bigl[\sin\theta\bigr]_{\theta_1}^{\theta_2}.
  • Em termos de y', \sin\theta=\dfrac{y'}{\sqrt{d^2+y'^2}}. Os limites correspondem a y'=\pm a/2, então
I=\frac{1}{d^2}\left(\frac{a/2}{\sqrt{d^2+(a/2)^2}}-\frac{-a/2}{\sqrt{d^2+(a/2)^2}}\right) =\frac{1}{d^2}\cdot\frac{a}{\sqrt{d^2+(a/2)^2}}.
Portanto
I=\frac{a}{d^2\sqrt{d^2+(a/2)^2}}.

Passo 5

Substituindo I em E_x^{(d)}:
E_x^{(d)}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\lambda(-d)\cdot\frac{a}{d^2\sqrt{d^2+(a/2)^2}} =-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{d\sqrt{d^2+(a/2)^2}}.
Interpretando o sinal: para o fio com carga +\lambda em x=+d a contribuição é negativa (aponta para o eixo -\hat{\mathbf{x}}), o que está coerente com a direção do campo (afasta-se da carga positiva).

Passo 6

Contribuição do outro fio (em x=-d) e soma total:
  • O fio da esquerda está em x'=-d e tem carga linear -\lambda. Por simetria a expressão da magnitude do campo devido a esse fio no centro tem o mesmo valor absoluto que E_x^{(d)}. Quanto ao sinal: o fio negativo atrai, de modo que o campo no centro devido a esse fio também aponta para a esquerda (direção -\hat{\mathbf{x}}). Logo as duas contribuições somam (mesma direção).
  • Portanto o campo total na direção x é
E_x^{\text{(total)}}=2\left(-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{d\sqrt{d^2+(a/2)^2}}\right) =-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\lambda a}{d\sqrt{d^2+(a/2)^2}}.

Passo 7

Substituir d=\dfrac{b}{2} e simplificar:
  • Primeiro calcule o denominador:
d\sqrt{d^2+(a/2)^2}=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^2}{4}} =\frac{b}{2}\cdot\frac{\sqrt{b^2+a^2}}{2} =\frac{b\sqrt{b^2+a^2}}{4}.
  • Então
E_x^{\text{(total)}}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\lambda a}{\dfrac{b\sqrt{b^2+a^2}}{4}} =-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2\lambda a\cdot 4}{b\sqrt{b^2+a^2}} =-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{8\lambda a}{b\sqrt{b^2+a^2}}.
  • Podemos juntar constantes:
-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot 8 = -\frac{8}{4\pi\epsilon_0} = -\frac{2}{\pi\epsilon_0},
portanto uma forma compacta é
\mathbf{E}(0,0)=-\frac{2\lambda a}{\pi\epsilon_0\,b\sqrt{b^2+a^2}}\,\hat{\mathbf{x}}.

Passo 8

Interpretação física e verificação de limites (cheque rápido para sentir se está razoável):
  • Direção -\hat{\mathbf{x}} significa que o campo aponta do fio positivo para o fio negativo (da direita para a esquerda na nossa escolha de coordenadas), o que faz sentido.
  • Limite a\to 0 (fios muito curtos, cargas tendendo a pontos): então E\to 0 proporcional a a, condizente com carga total pequena.
  • Limite a\to\infty (fios muito longos): para a\gg b, \sqrt{b^2+a^2}\approx a e E\approx -\dfrac{2\lambda a}{\pi\epsilon_0\,b\,a}=-\dfrac{2\lambda}{\pi\epsilon_0 b}. Não diverge e mostra dependência inversa em b, coerente com campo entre longos fios paralelos (ordem de 1/b) até fatores geométricos.

Resposta

\mathbf{E}(0,0)=-\frac{2\lambda a}{\pi\epsilon_0\,b\sqrt{b^2+a^2}}\,\hat{\mathbf{x}}

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