Questão 10) Dois fios retilíneos de mesmo comprimento
, separados por uma distância
, estão uniformemente carregados com densidade linear de carga
e
. Calcule o campo elétrico no centro do retângulo de lados
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o campo elétrico no centro do retângulo de lados
e
produzido por dois fios retilíneos de mesmo comprimento
, separados por uma distância
, com densidades lineares de carga
e
.
Informações dadas:
- Comprimento de cada fio:
. - Separação entre os fios (distância entre seus eixos):
. - Densidades lineares de carga: um fio com
e o outro com . - Pede-se o campo elétrico no centro do retângulo (ponto equidistante das extremidades dos fios e equidistante dos fios).
Geometria adotada (escolhida por simetria, já que enunciado não especifica orientação):
- Colocar o centro do retângulo na origem.
- Fios alinhados paralelamente ao eixo
, com seus centros em e , onde . - Cada fio se estende em
de até . - Assim, o ponto onde queremos o campo é o ponto
.
O que vamos calcular:
- O campo elétrico total
= soma dos campos gerados por cada fio. - Usaremos a lei de Coulomb diferencial para uma densidade linear: elemento de carga
e integração ao longo do fio.
Passo 2
Relembrando a fórmula do campo elétrico gerado por um elemento de carga e como aplicá-la a uma linha:
- Um elemento
localizado em posição produz no ponto um campo diferencial
onde
é o vetor do elemento até o ponto de observação,
e
.
- Para uma linha com densidade linear
, quando parametrizamos pela coordenada ao longo do fio. - No nosso caso, para um fio situado em
(fio da direita) um elemento está em com . O vetor do elemento até a origem é e .
Passo 3
Componentes do campo diferencial e uso da simetria:
- O elemento produz
Ou seja, as componentes são
- Por simetria da integração em
de a , a componente será zero, porque a integranda é ímpar em . - Portanto resta só integrar
.
Passo 4
Integração da componente
para um fio:
- A contribuição total do fio em
é
- Vamos calcular a integral
Fazendo a substituição trigonométrica
, tem-se
e
. Assim
- Em termos de
, . Os limites correspondem a , então
Portanto
Passo 5
Substituindo
em
:
Interpretando o sinal: para o fio com carga
em
a contribuição é negativa (aponta para o eixo
), o que está coerente com a direção do campo (afasta-se da carga positiva).
Passo 6
Contribuição do outro fio (em
) e soma total:
- O fio da esquerda está em
e tem carga linear . Por simetria a expressão da magnitude do campo devido a esse fio no centro tem o mesmo valor absoluto que . Quanto ao sinal: o fio negativo atrai, de modo que o campo no centro devido a esse fio também aponta para a esquerda (direção ). Logo as duas contribuições somam (mesma direção). - Portanto o campo total na direção
é
Passo 7
Substituir
e simplificar:
- Primeiro calcule o denominador:
- Então
- Podemos juntar constantes:
portanto uma forma compacta é
Passo 8
Interpretação física e verificação de limites (cheque rápido para sentir se está razoável):
- Direção
significa que o campo aponta do fio positivo para o fio negativo (da direita para a esquerda na nossa escolha de coordenadas), o que faz sentido. - Limite
(fios muito curtos, cargas tendendo a pontos): então proporcional a , condizente com carga total pequena. - Limite
(fios muito longos): para , e . Não diverge e mostra dependência inversa em , coerente com campo entre longos fios paralelos (ordem de ) até fatores geométricos.