Questão 1 - Uma corda de massa M e comprimento L está na vertical, com suas duas extremidades presas, uma ao teto e outra ao chão. A tensão da corda no seu ponto mais baixo vale T_{0}. O campo gravitacional define a direção vertical, é uniforme e com intensidade g. Na resolução dos ítens abaixo, um eixo vertical usado para medir a altura y, deve ser escolhido com a origem ( y=0 ) na extremidade inferior da corda e orientado com y>0 acima do chão (orientado para cima).
(b) Suponha que (para alguma densidade, variável com y ou não) a equação de onda desta corda admita solução na forma
\psi(y, t)=\sum_{k} \phi_{k}(t) \sin (k y) .
Calcule os valores possíveis de k. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá uma corda vertical de comprimento L presa nas duas extremidades (uma no chão, y=0, e outra no teto, y=L). Foi assumido um sistema de coordenadas com origem em y=0 e y>0 para cima.
Também é dada a forma proposta da solução da equação de onda:
\psi(y,t)=\sum_{k}\phi_{k}(t)\sin(ky).
O que o item (b) pede: calcular os valores possíveis de k compatíveis com as condições do problema (isto é, as condições nas extremidades da corda).

Passo 2

Interpretar as condições nas extremidades. Como ambas as extremidades da corda estão presas, o deslocamento transversal da corda deve ser zero em y=0 e em y=L para todo t. Em fórmula:
\psi(0,t)=0,\qquad \psi(L,t)=0\quad\text{para todo }t.
Essas condições são chamadas de condições de contorno de “extremidades fixas”.

Passo 3

Verificar a condição em y=0. Cada termo da série é \phi_{k}(t)\sin(ky), então em y=0 temos \sin(k\cdot 0)=\sin(0)=0. Logo a condição \psi(0,t)=0 já é satisfeita por qualquer valor de k. Nada novo aqui — é por isso que a base em senos é natural para uma extremidade fixa em y=0.

Passo 4

Impor a condição em y=L. Para que \psi(L,t)=0 valha para todo t é necessário que cada modo espacial satisfaça
\sin(kL)=0.
Essa equação determina os valores permitidos de k.

Passo 5

Resolver \sin(kL)=0. As raízes do seno são quando o argumento é múltiplo inteiro de \pi. Portanto
kL = n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Assim,
k = \frac{n\pi}{L}.

Passo 6

Escolher os n fisicamente relevantes. O caso n=0 k=0 e corresponde ao modo trivial sem deslocamento (modo nulo), que não é um modo vibracional útil. Valores negativos de n produzem os mesmos senos que os positivos, pois \sin(-n\pi y/L)=-\sin(n\pi y/L) (mesmo modo até sinal). Portanto os modos independentes correspondem a
n=1,2,3,\dots
e os autovalores espaciais são
k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\ldots

Resposta

k_n=\dfrac{n\pi}{L},\; n=1,2,3,\ldots

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