Questão 1 - Uma corda de massa
e comprimento
está na vertical, com suas duas extremidades presas, uma ao teto e outra ao chão. A tensão da corda no seu ponto mais baixo vale
. O campo gravitacional define a direção vertical, é uniforme e com intensidade
. Na resolução dos ítens abaixo, um eixo vertical usado para medir a altura
, deve ser escolhido com a origem (
) na extremidade inferior da corda e orientado com
acima do chão (orientado para cima).
(b) Suponha que (para alguma densidade, variável com
ou não) a equação de onda desta corda admita solução na forma
Calcule os valores possíveis de
. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(b) Suponha que (para alguma densidade, variável com
Passo 1
O enunciado nos dá uma corda vertical de comprimento
presa nas duas extremidades (uma no chão,
, e outra no teto,
). Foi assumido um sistema de coordenadas com origem em
e
para cima.
Também é dada a forma proposta da solução da equação de onda:
Também é dada a forma proposta da solução da equação de onda:
O que o item (b) pede: calcular os valores possíveis de
compatíveis com as condições do problema (isto é, as condições nas extremidades da corda).
Passo 2
Interpretar as condições nas extremidades. Como ambas as extremidades da corda estão presas, o deslocamento transversal da corda deve ser zero em
e em
para todo
. Em fórmula:
Essas condições são chamadas de condições de contorno de “extremidades fixas”.
Passo 3
Verificar a condição em
. Cada termo da série é
, então em
temos
. Logo a condição
já é satisfeita por qualquer valor de
. Nada novo aqui — é por isso que a base em senos é natural para uma extremidade fixa em
.
Passo 4
Impor a condição em
. Para que
valha para todo
é necessário que cada modo espacial satisfaça
Essa equação determina os valores permitidos de
.
Passo 5
Resolver
. As raízes do seno são quando o argumento é múltiplo inteiro de
. Portanto
Assim,
Passo 6
Escolher os
fisicamente relevantes. O caso
dá
e corresponde ao modo trivial sem deslocamento (modo nulo), que não é um modo vibracional útil. Valores negativos de
produzem os mesmos senos que os positivos, pois
(mesmo modo até sinal). Portanto os modos independentes correspondem a
e os autovalores espaciais são