Em certo momento durante a sua reentrada na terra um satélite se move na horizontalmente na atmosfera da terra. O satélite carrega um acelerômetro que mede a força de contato agindo em uma pequena massa se movendo com o satélite. Se o acelerômetro está lendo
na direção oposta à sua velocidade, e a aceleração da gravidade na posição em que ele se encontra é de
, qual a aceleração absoluta do satélite? Se a velocidade do satélite é de
qual a velocidade angular do vetor velocidade?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- O acelerômetro mede uma força de contato que corresponde a uma aceleração de
e essa aceleração apontA na direção oposta à velocidade do satélite (ou seja, é um componente horizontal, tangencial, contrária à velocidade). - A aceleração da gravidade no ponto onde o satélite se encontra é
(apontando para baixo). - A velocidade do satélite tem módulo
.
O enunciado pede duas coisas:
- Qual a aceleração absoluta do satélite? (isto é, o vetor aceleração total no referencial inercial — normalmente queremos componentes e o módulo).
- Qual a velocidade angular do vetor velocidade? (isto é, a taxa angular com que a direção do vetor velocidade muda, em
).
Passo 2
Conceito importante (explicando devagar, como um amigo): o acelerômetro mede a aceleração “própria” produzida por forças de contato (ou seja, as acelerações que não são causadas pela gravidade). Em termos de forças e acelerações, pela Segunda Lei de Newton:
onde
é a aceleração gravitacional (para baixo) e
são as forças de contato (arrasto, sustentação, normal, etc.). Dividindo por
,
O valor que o acelerômetro lê é exatamente
. Portanto para obter a aceleração absoluta (total, no referencial inercial) somamos vetor de gravidade com o vetor indicado pelo acelerômetro:
Passo 3
Vamos escolher um sistema de eixos simples para escrever vetores:
- Eixo
: direção da velocidade, sentido positivo igual ao sentido da velocidade. - Eixo
: direção vertical, sentido positivo para cima.
Com isso:
- Aceleração medida pelo acelerômetro (força de contato por unidade de massa) é horizontal e oposta à velocidade, ou seja
- Aceleração da gravidade é para baixo:
Passo 4
Somando os dois componentes para obter a aceleração total:
Agora o módulo (valor absoluto) dessa aceleração é
Calculemos passo a passo:
Passo 5
Agora a velocidade angular do vetor velocidade: o que isso significa e qual fórmula usar?
- A velocidade angular
do vetor velocidade é a taxa com que sua direção gira (em rad/s). Se uma componente de aceleração é perpendicular à velocidade, essa componente muda a direção do vetor velocidade. Para movimento com curvatura localmente circular, a relação entre aceleração perpendicular , velocidade e velocidade angular é
Esta relação vem da cinemática rotacional: para um movimento circular de raio
, tem-se
e a aceleração centrípeta
; portanto
. Assim:
Passo 6
Identificar
no nosso problema:
- A velocidade é horizontal.
- A aceleração medida pelo acelerômetro é tangencial (oposta à velocidade) — ela muda o módulo de
, não sua direção. - A gravidade é vertical (perpendicular à velocidade) — ela é a responsável pela rotação da direção do vetor velocidade.
Logo
. Assim
Calculemos:
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: a componente horizontal do acelerômetro foi usada como componente tangencial (oposta ao movimento) e a gravidade como componente perpendicular que gira a direção do vetor velocidade. Boa! Você já consegue calcular tanto o vetor aceleração quanto a taxa angular com que a direção da velocidade muda — isso cai bastante em prova.