Em certo momento durante a sua reentrada na terra um satélite se move na horizontalmente na atmosfera da terra. O satélite carrega um acelerômetro que mede a força de contato agindo em uma pequena massa se movendo com o satélite. Se o acelerômetro está lendo 19,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} na direção oposta à sua velocidade, e a aceleração da gravidade na posição em que ele se encontra é de 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual a aceleração absoluta do satélite? Se a velocidade do satélite é de 3.050 \mathrm{~m} / \mathrm{s} qual a velocidade angular do vetor velocidade?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O acelerômetro mede uma força de contato que corresponde a uma aceleração de \,19{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}}\, e essa aceleração apontA na direção oposta à velocidade do satélite (ou seja, é um componente horizontal, tangencial, contrária à velocidade).
  • A aceleração da gravidade no ponto onde o satélite se encontra é \,9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\, (apontando para baixo).
  • A velocidade do satélite tem módulo \,3050\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede duas coisas:
  1. Qual a aceleração absoluta do satélite? (isto é, o vetor aceleração total no referencial inercial — normalmente queremos componentes e o módulo).
  2. Qual a velocidade angular do vetor velocidade? (isto é, a taxa angular com que a direção do vetor velocidade muda, em \mathrm{s^{-1}}).

Passo 2

Conceito importante (explicando devagar, como um amigo): o acelerômetro mede a aceleração “própria” produzida por forças de contato (ou seja, as acelerações que não são causadas pela gravidade). Em termos de forças e acelerações, pela Segunda Lei de Newton:
m\vec{a}_{\text{total}} = m\vec{g} + \vec{F}_{\text{contato}},
onde \vec{g} é a aceleração gravitacional (para baixo) e \vec{F}_{\text{contato}} são as forças de contato (arrasto, sustentação, normal, etc.). Dividindo por m,
\vec{a}_{\text{total}} = \vec{g} + \frac{\vec{F}_{\text{contato}}}{m}.
O valor que o acelerômetro lê é exatamente \dfrac{\vec{F}_{\text{contato}}}{m}. Portanto para obter a aceleração absoluta (total, no referencial inercial) somamos vetor de gravidade com o vetor indicado pelo acelerômetro:
\vec{a} = \vec{g} + \vec{a}_{\text{acel}}.

Passo 3

Vamos escolher um sistema de eixos simples para escrever vetores:
  • Eixo x: direção da velocidade, sentido positivo igual ao sentido da velocidade.
  • Eixo y: direção vertical, sentido positivo para cima.
Com isso:
  • Aceleração medida pelo acelerômetro (força de contato por unidade de massa) é horizontal e oposta à velocidade, ou seja
\vec{a}_{\text{acel}} = -\,19{,}5\,\hat{\imath}\quad\text{(em \(\mathrm{m/s^{2}}\))}.
  • Aceleração da gravidade é para baixo:
\vec{g} = -\,9{,}8\,\hat{\jmath}\quad\text{(em \(\mathrm{m/s^{2}}\))}.

Passo 4

Somando os dois componentes para obter a aceleração total:
\vec{a} = \vec{g} + \vec{a}_{\text{acel}} = -\,19{,}5\,\hat{\imath} -\,9{,}8\,\hat{\jmath}\quad\mathrm{(m/s^{2})}.
Agora o módulo (valor absoluto) dessa aceleração é
\lVert \vec{a}\rVert = \sqrt{(-19{,}5)^{2} + (-9{,}8)^{2}}.
Calculemos passo a passo:
(-19{,}5)^{2} = 380{,}25,\qquad (-9{,}8)^{2}=96{,}04,
380{,}25 + 96{,}04 = 476{,}29,
\lVert \vec{a}\rVert = \sqrt{476{,}29}\approx 21{,}82\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Agora a velocidade angular do vetor velocidade: o que isso significa e qual fórmula usar?
  • A velocidade angular \omega do vetor velocidade é a taxa com que sua direção gira (em rad/s). Se uma componente de aceleração é perpendicular à velocidade, essa componente muda a direção do vetor velocidade. Para movimento com curvatura localmente circular, a relação entre aceleração perpendicular a_{\perp}, velocidade v e velocidade angular \omega é
a_{\perp} = v\,\omega.
Esta relação vem da cinemática rotacional: para um movimento circular de raio R, tem-se \omega = v/R e a aceleração centrípeta a_{\perp}=v^{2}/R; portanto a_{\perp}=v\omega. Assim:
\omega = \frac{a_{\perp}}{v}.

Passo 6

Identificar a_{\perp} no nosso problema:
  • A velocidade é horizontal.
  • A aceleração medida pelo acelerômetro é tangencial (oposta à velocidade) — ela muda o módulo de v, não sua direção.
  • A gravidade é vertical (perpendicular à velocidade) — ela é a responsável pela rotação da direção do vetor velocidade.
Logo a_{\perp}=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Assim
\omega = \frac{9{,}8}{3050}.
Calculemos:
\omega \approx 3{,}213\!\times\!10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
\omega \approx 3{,}21\times10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: a componente horizontal do acelerômetro foi usada como componente tangencial (oposta ao movimento) e a gravidade como componente perpendicular que gira a direção do vetor velocidade. Boa! Você já consegue calcular tanto o vetor aceleração quanto a taxa angular com que a direção da velocidade muda — isso cai bastante em prova.

Resposta

\vec{a} = -\,19{,}5\,\hat{\imath} -\,9{,}8\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad \lVert \vec{a}\rVert \approx 21{,}82\\ \mathrm{m/s^{2}}
\omega \approx 3{,}21\times10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}}

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