Questão 10: Encontre o potencial V para os seguintes campos eletrostáticos:
E=2 a x y i+a(x^2-y^2) j; onde a e b são constantes.

Passo 1

O enunciado pede o potencial escalar V(x,y) para o campo eletrostático
E=2 a x y,i+al(x^2-y^2r),j
Em eletrostática vale
E=-nabla V,
então basta integrar as componentes parciais de V.

Passo 2

Da componente x temos
partial Vpartial x=-Ex=-2a x y
Integrando em x (mantendo y fixo) surge
V(x,y)=integral -2a x y,dx=-a x^2y+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 3

Da componente y vale
partial Vpartial y=-Ey=-al(x^2-y^2r)
Por outro lado, derivando a expressão obtida em V:
partial Vpartial y =partialpartial yl(-a x^2y+g(y)r) =-a x^2+g'(y)
Igualando as duas formas:
-a x^2+g'(y)=-a x^2 +a y^2 Longrightarrow g'(y)=a y^2
e integrando em y:
g(y)=integral a y^2,dy=a3y^3 + C,
com C constante.

Passo 4

Substituindo g(y) em V(x,y) obtemos
V(x,y)=-a x^2y+a3y^3 + C

Resposta

V(x,y)=al(-x^2y+tfrac13y^3r)+C,
onde C é a constante arbitrária de referência.

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