Questão 9: Tendo como base a seção 4.4 do Vol. 3 do livro Física Básica de Moysés Nussenzveig que trata sobre dipolos elétricos:
Calcule as forças e torques sobre dipolos em campos elétricos.

Passo 1

O enunciado pede as expressões gerais para a força e o torque que um dipolo elétrico rígido, de momento dipolar p, sofre quando submetido a um campo elétrico E(r). Vamos usar como modelo duas cargas +q e -q separadas pelo vetor d, de modo que p=q,d.

Passo 2

Para achar o torque, considere que as cargas pm q estão em posições r+ e r-. As forças sobre elas são
F+ = +q,E(r+), F- = -q,E(r-)
O torque total em relação a um ponto de referência é
tau = r+timesF+ ;+;r-timesF-
e, no limite de dipolo pequeno, resulta em
tau=ptimesE

Passo 3

Para a força, o resultado exato é
F = F+ + F- = q,E(r+) ;-; q,E(r-)
Se a separação d for pequena, expandimos E(rpm) em série de Taylor.

Passo 4

Expandindo até a primeira ordem em d, obtemos
E(rpm) approx E(r) pm (d/2cdotnabla),E(r),
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F approx ql[(d/2cdotnabla)E - (-d/2cdotnabla)Er] = (underbraceq,d,p,cdotnabla),E

Passo 5

Em componentes cartesianas xi, isso significa
Fi = pj,partial Eipartial xj
Note que, em campo uniforme ( nablaE=0), F=0.

Resposta

tau=ptimesE,
F=(pcdotnabla),E

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