Questão 10: Encontre o potencial V para os seguintes campos eletrostáticos:
E=a y i+(a x+b z) j+b y k. onde a e b são constantes.

Passo 1

O enunciado fornece o campo eletrostático
E = a,y,i + l(a,x + b,zr),j + b,y,k
e pede o potencial V(x,y,z). Num campo conservativo temos
E = -nabla V,
isto é,
partial Vpartial x = -Ex, partial Vpartial y = -Ey, partial Vpartial z = -Ez

Passo 2

Começando por
partial Vpartial x = -Ex = -a,y,
integramos em x (mantendo y,z fixos):
V(x,y,z) = -a,x,y + f(y,z),
onde f(y,z) é uma “constante” de integração que ainda depende de y,z.

Passo 3

Usamos agora
partial Vpartial y = -Ey = -(a,x + b,z)
Por outro lado, derivando a expressão acima,
partial Vpartial y = -a,x + partial fpartial y
Igualando os dois resultados:
-a,x + partial fpartial y = -a,x - b,z Longrightarrow partial fpartial y = -b,z
Integrando em y:
f(y,z) = -b,z,y + g(z),
com g(z) função a determinar.

Passo 4

Substituindo em V:
V(x,y,z) = -a,x,y - b,y,z + g(z)
Falta impor
partial Vpartial z = -Ez = -b,y
Derivando:
partial Vpartial z = -b,y + g'(z)
e igualando a -b,y g'(z)=0. Logo g(z) é constante, que podemos ajustar para zero.

Resposta

V(x,y,z) = -a,x,y - b,y,z + C,
onde C é uma constante arbitrária (normalmente escolhida C=0).

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