Questão 10.0 - A equação de Einstein permitiu a Perrin determinar o número de Avogadro, explique 0 que os termos \left\langle x^{2}\right\rangle e N_{A} representam e como estão relacionados. Justifique utilizando a terminologia da teoria cinética dos gases.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) explicar o que representam os termos \langle x^{2}\rangle e N_{A} e (ii) mostrar como eles estão relacionados, justificando com a terminologia da teoria cinética dos gases.
Informações / símbolos que vamos usar (fornecidos implicitamente pelo enunciado e pela física do problema): temperatura absoluta T, tempo de observação t, viscosidade do fluido \eta, raio da partícula (esférica) a, constante dos gases R, constante de Boltzmann k_{B}, coeficiente de difusão D. Não há números concretos no enunciado — queremos a relação teórica e a interpretação física.

Passo 2

O que é \langle x^{2}\rangle (interpretação estatística e física).
  • Definição: \langle x^{2}\rangle é o desvio quadrático médio da posição ao longo de uma direção (por exemplo, eixo x). Significa “média do quadrado do deslocamento” de muitas partículas idênticas ou de muitas repetições temporais de uma mesma partícula:
\langle x^{2}\rangle = \text{média}\big[(x(t)-x(0))^{2}\big]é
  • Interpretação física (teoria cinética): partículas colidem aleatoriamente com as moléculas do fluido por causa da agitação térmica. Essas colisões fazem com que o movimento seja uma caminhada aleatória (random walk). Em um processo de difusão normal (Browniano), a média do quadrado do deslocamento cresce linearmente com o tempo — isso é característico de processos de difusão sem correlações de longo alcance.
  • Relação empírica/teórica básica para 1 dimensão (fórmula de Einstein para o movimento browniano):
\langle x^{2}\rangle = 2 D t
onde D é o coeficiente de difusão (explica quanto “espalhamento” a partícula tem por unidade de tempo).

Passo 3

O que é D e de onde vem a relação com temperatura e viscosidade (Stokes–Einstein).
  • Coeficiente de difusão D: mede a rapidez com que a partícula se espalha por causa do movimento aleatório. Na teoria cinética, D é ligado às flutuações térmicas que impulsionam o movimento e à força viscosa que o retarda.
  • Força viscosa sobre uma esfera lenta (Lei de Stokes): a resistência que o fluido oferece ao movimento é proporcional à velocidade. O coeficiente de atrito (ou fricção) para uma esfera de raio a em um fluido com viscosidade \eta é
\zeta = 6\pi \eta a.
Aqui \zeta tem unidades de força por velocidade.
  • Relação flutuação-dissipação (Stokes–Einstein): as mesmas colisões térmicas que causam flutuações (difusão) também entregam energia proporcional à temperatura. A relação que liga D, k_{B}, T e \zeta é
D = \frac{k_{B} T}{\zeta} = \frac{k_{B} T}{6\pi \eta a}.
  • Intuição física: k_{B}T é a “energia térmica por grau de liberdade” disponível para provocar movimento aleatório; \zeta quantifica o atrito viscoso que dissipa esse movimento. Quanto maior T, maior D; quanto maior \eta ou a, menor D.

Passo 4

Relacionando \langle x^{2}\rangle com N_{A} usando k_{B}=R/N_{A} e as fórmulas anteriores.
  • Começamos com a expressão da média quadrática em 1D:
\langle x^{2}\rangle = 2 D t.
  • Substituímos D pela expressão de Stokes–Einstein:
\langle x^{2}\rangle = 2 \left(\frac{k_{B} T}{6\pi \eta a}\right) t.
  • Simplificando:
\langle x^{2}\rangle = \frac{k_{B} T}{3\pi \eta a}\; t.
  • Agora usamos k_{B} = \dfrac{R}{N_{A}} (relação entre constante de Boltzmann e número de Avogadro):
\langle x^{2}\rangle = \frac{R T}{3\pi N_{A} \eta a}\; t.
  • Isolando N_{A} para ver como Perrin poderia determinar o número de Avogadro a partir de medidas:
N_{A} = \frac{R T t}{3\pi \eta a \,\langle x^{2}\rangle }.
  • Interpretação experimental: se você mede experimentalmente \langle x^{2}\rangle como função de t (por exemplo, medindo deslocamentos de muitas partículas em um microscópio e calculando a média do quadrado do deslocamento), conhece T, \eta, a e R, então pode calcular N_{A}. Isso é exatamente o caminho seguido por Jean Perrin: ele verificou que \langle x^{2}\rangle cresce linearmente com t, obteve a constante de proporcionalidade (logo D) e, usando a expressão acima, obteve N_{A} numérico, confirmando a existência de átomos e moléculas.
  • Observação sobre média: \langle x^{2}\rangle pode ser calculada como média sobre muitas partículas no mesmo tempo ou como média temporal de uma partícula (pressupõe-se ergodicidade em experimentos adequados).

Passo 5

Resumo físico e dica prática para prova (tom motivador).
  • Em linguagem simples: \langle x^{2}\rangle mede “o quanto, em média, as partículas andam ao quadrado” por causa do calor; N_{A} é “quantas partículas tem numa mola” (número de Avogadro). A teoria cinética conecta a energia térmica k_{B}T às flutuações (movimento aleatório) e conecta a resistência viscosa ao amortecimento; juntando essas ideias obtemos a fórmula que relaciona \langle x^{2}\rangle com N_{A}.
  • Dica para a prova: mostre a cadeia lógica clara: \langle x^{2}\rangle = 2 D t (Einstein) → D = k_{B}T/(6\pi\eta a) (Stokes–Einstein) → k_{B}=R/N_{A} → resolver para N_{A}. Explique o significado físico de cada termo enquanto faz as substituições — isso costuma impressionar o corretor e demonstra que você entende a física por trás das fórmulas. Força — você vai conseguir!

Resposta

\langle x^{2}\rangle é o desvio quadrático médio do deslocamento ao longo de uma direção (média do quadrado do deslocamento causado pelo movimento browniano).
N_{A} é o número de Avogadro (número de entidades por mol).
As duas quantidades estão relacionadas pela fórmula (obtida combinando a relação de Einstein para o movimento browniano e a relação de Stokes–Einstein, usando k_{B}=R/N_{A}):
\langle x^{2}\rangle=\frac{R T}{3\pi N_{A}\eta a}\;t
ou, isolando N_{A},
N_{A}=\frac{R T t}{3\pi \eta a\,\langle x^{2}\rangle }.

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